Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
W
=
1
2
(e
1
A+e
2
B)
, =
1
2
S
4
(B-A)^2
c^2
, =
R^2
8
Se
, =
=
2
S
e
1
^2c
, =
Fc
.
Первое из этих выражений представляет собой
Второе выражение представляет энергию через площадь, расстояние и разность потенциалов.
Третье выражение представляет энергию через результирующую силу R и объём Sc заключённый между площадками S и S', и показывает, что в единице объёма заключена энергия p где 8p=R^2.
Сила притяжения между плоскостями равна pS т.е., иными словами, на каждую единицу поверхности действует электрическое натяжение (или отрицательное давление), равное p.
Четвёртое выражение представляет энергию через заряд.
Пятое выражение показывает, что электрическая энергия равна работе, которую совершила бы электрическая сила, если бы обе поверхности сомкнулись, двигаясь параллельно самим себе при сохранении постоянной величины заряда на них.
Заряд выражается через разность потенциалов соотношением
e
1
=
1
4
S
c
(A-B)
=
q(A-B)
.
Коэффициент q представляет заряд, обусловленный единичной разностью потенциалов. Этот коэффициент называется Ёмкостью поверхности S обусловленной её расположением относительно противоположной поверхности.
Предположим теперь, что среда между обеими поверхностями уже не воздух, а какое-либо другое диэлектрическое вещество с удельной индуктивной способностью K. Тогда заряд, обусловленный заданной разностью потенциалов, будет в K раз больше, чем в воздухе, т.е. e1=KS(A-B)/4c.
Полная энергия будет равна
W
=
KS
8c
(A-B)^2
=
2
KS
e
1
^2c
,
а сила между поверхностями
F
=
pS
KS
8
(A-B)^2
c^2
=
2
KS
e
1
^2
.
Следовательно, сила между двумя поверхностями, поддерживаемыми при заданных потенциалах, меняется пропорционально удельной индуктивной способности диэлектрика K а сила между двумя поверхностями с заданными зарядами меняется обратно пропорционально K.
Две концентрические сферические поверхности
125. Если две концентрические сферические поверхности радиусов a и b, причём b больше a, поддерживаются соответственно под потенциалами A и B, то, очевидно, потенциал V является функцией расстояния r от их центра. В этом случае уравнение Лапласа принимает вид
d^2V
dr^2
+
2
r
dV
dr
=
0.
Его
V
=
Aa-Bb
a-b
+
A-B
a– 1– b– 1
r
– 1
,
R
=
dV
dr
A-B
a– 1– b– 1
r
– 2
.
Если 1 и 2, - поверхностные плотности на противолежащих поверхностях сплошного шара радиуса a и сферической полости радиуса b, то
1
=
1
4a
A-B
a– 1– b– 1
,
2
=
1
4b
B-A
a– 1– b– 1
.
Если e1 и e2– полные электрические заряды этих поверхностей, то
e
1
=
4a^2
1
=
A-B
a– 1– b– 1
=
– e
2
.
Следовательно, ёмкость сферы, окружённой сферической оболочкой, равна ab/(b-a).
Если внешняя поверхность оболочки тоже сфера радиуса c, то при отсутствии других проводников поблизости заряд на внешней поверхности равен e3=Bc.
Таким образом, полный заряд на внутренней сфере равен
e
1
=
ab
b-a
(A-B)
,
а на внешней оболочке
e
2
+
e
3
=
ab
b-a
(B-A)
+
Bc
.
Положив b=, мы получим случай сферы в бесконечном пространстве. Электрическая ёмкость такой сферы равна a т.е. численно равна радиусу сферы.
Электрическое натяжение на внутренней сфере, приходящееся на единицу площади, равно
p
=
1
8
b^2
a^2
(A-B)^2
(b-a)^2
.