Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Результирующая сила, обусловленная этим натяжением, для полусферы равна a^2p=F и перпендикулярна основанию полусферы. Если она уравновешивается поверхностным натяжением, испытываемым по круговой границе полусферы с натяжением на единицу длины равным T то F=2aT.
Отсюда
F
=
b^2
8
(A-B)^2
(b-a)^2
=
e1^2
8a^2
,
T
=
b^2
16a
(A-B)^2
(b-a)^2
.
Если
Результирующая напряжённость у внешней поверхности равна 4 а внутри пузыря равна нулю, так что, согласно п. 79, электрическая сила, действующая на единицу поверхности, равна 2, причём направлена она наружу. Следовательно, электризация уменьшает давление воздуха внутри пузыря на 2^2, т. е. на A^2/(8a^2).
Но можно показать, что если T0 натяжение в жидкой плёнке, передаваемое через линию единичной длины, то внутреннее давление, необходимое для удержания пузыря от охлопывания, равно 2T0/a. Если электрической силы как раз достаточно для удержания пузыря в равновесии при одинаковом давлении воздуха вне и внутри пузыря, то A^2=16aT0.
Две бесконечные коаксиальные цилиндрические поверхности
126. Пусть радиус внешней поверхности проводящего цилиндра равен a а радиус внутренней поверхности полого цилиндра, коаксиального первому, равен b. Пусть их потенциалы соответственно равны A и B. Потенциал V зависит в этом случае только от расстояния r от оси, так что уравнение Лапласа принимает вид
d^2V
dr^2
+
1
r
dV
dr
=
0.
откуда V=C1+C2 ln r.
Поскольку V=A при r=a и V=B при r=b, то
V
=[
A ln(b/r)
+
B ln(r/b)
]/
ln(b/a)
.
Если 1 и 2– поверхностные плотности на внутренней и внешней поверхностях, то
4
1
=
A-B
,
a ln
b
a
4
2
=
A-B
,
b ln
b
a
Для зарядов e1 и e2 на участках обоих цилиндров между двумя сечениями перпендикулярными оси, и отстоящими друг от друга на расстояние l имеем
e
1
=
2al
1
=
1
·
A-B
l
=
– e
2
.
2
ln
b
a
Следовательно, ёмкость участка внутреннего цилиндра
Если пространство между цилиндрами занято не воздухом, а диэлектриком с удельной индуктивной способностью K то ёмкость участка внутреннего цилиндра длины l равна lK/(2 ln (b/a)).
Энергия распределения электричества на рассматриваемом участке бесконечного цилиндра равна lK(A-B)^2/(4 ln (b/a)).
127. Пусть два полых цилиндрических проводника A и B произвольной длины (рис. 6), имеющие общую ось x, расположены один с отрицательной стороны от начала координат, а другой с положительной стороны и разделены небольшим промежутком вблизи начала координат.
Пусть цилиндр C длины 2l расположен так, что его центральная точка находится на расстоянии x от начала координат в положительную сторону, а сам цилиндр C входит внутрь полых цилиндров.
Положим потенциал полого цилиндра на положительной стороне равным A на отрицательной стороне равным B и потенциал внутреннего цилиндра равным C, обозначим через ёмкость единицы длины C по отношению к A, а через - ёмкость единицы длины C по отношению к B.
Рис. 6
Поверхностная плотность на участках цилиндров в фиксированных точках вблизи начала координат и в точках, находящихся на заданном небольшом расстоянии от концов внутреннего проводника, не зависит от величины x, если только внутренний цилиндр достаточно глубоко входит внутрь обоих полых цилиндров. Вблизи концов полых цилиндров и вблизи концов внутреннего цилиндра устанавливается распределение электричества, которое мы ещё пока не можем рассчитать, однако распределение у начала координат не меняется при перемещении внутреннего цилиндра, если ни один из его концов не подходит близко к началу координат, а распределения у концов внутреннего цилиндра перемещаются вместе с цилиндром, так что эффект перемещения цилиндра сводится лишь к увеличению или уменьшению тех участков внутреннего цилиндра, на которых заряд распределён как на бесконечном цилиндре.
Следовательно, зависимость полной энергии системы от x даётся выражением
Q
=
1
2
(l+x)
(C-A)^2
+
1
2
(l-x)
(C-B)^2
+
+ величины, не зависящие от
x
,
а результирующая сила, параллельная оси цилиндров, равна, согласно п. 93б,
X
=
dQ
dx
(C-A)^2
–
1
2
(C-B)^2
,
поскольку энергия представлена через потенциалы.
Если сечения цилиндров A и B одинаковы, то = и X=(B-A)[C(A+B)/2].
Таким образом, оказывается, существует постоянная сила, действующая на внутренний цилиндр и втягивающая его в тот внешний цилиндр, потенциал которого больше отличается от потенциала внутреннего проводника.
Если C по величине значительно больше A+B, то сила приблизительно равна X=(B-A)C, так что можно определить разность потенциалов двух цилиндров, если измерить X, причём точность измерения увеличивается с повышением потенциала внутреннего цилиндра C. Этот принцип в несколько модифицированном виде принят в томсоновском квадрантном электрометре (п. 219).