Трактат об электричестве и магнетизме, Максвелл Джеймс Клерк

Трактат об электричестве и магнетизме

на обложку

Максвелл Джеймс Клерк

Шрифт:

129 в. Потенциал особой точки нулевого порядка

(9)

удовлетворяет уравнению Лапласа, следовательно, любая функция, получающаяся из него последовательным дифференцированием по любому числу осей, также должна удовлетворять этому уравнению.

Точку первого порядка можно получить, взяв две точки нулевого порядка с равными, но противоположными по знаку зарядами -A0 и A0 и поместив первую точку в начало координат, а вторую на конце оси h1. Затем нужно

неограниченно уменьшать h1 и увеличивать A0 так, чтобы их произведение A0h1 было всё время равно A1. Окончательным результатом такого процесса, соответствующим слиянию обеих точек, является точка первого порядка с моментом A1 и осью h1. Таким образом, точка первого порядка является двукратной. Её потенциал равен

– h

dh1

r^2

(10)

Поместив в начало координат точку первого порядка с моментом -A1 а на конце оси h2 другую точку первого порядка с моментом A1 и уменьшая затем h2 с одновременным увеличением A1, так что

(11)

мы получим точку второго порядка, потенциал которой

– h

dh2

312– 12

x^2

(12)

Точку второго порядка можно назвать четырехкратной (квадрупольной) точкой, так как она получается при сближении четырёх точек нулевого порядка. Она имеет две оси h1 и h2 и момент A2. Направления этих осей и величина момента полностью определяют характер точки.

Последовательно дифференцируя по n осям мы получим потенциал, создаваемый точкой n-го порядка. Он представляет собой произведение трёх множителей-константы, некоторой комбинации косинусов и r– (n+1). По причинам, которые станут ясны в дальнейшем, значение константы удобно выбирать так, что при совпадении всех осей с радиус-вектором коэффициент момента равен r– (n+1). Поэтому мы будем делить на n при дифференцировании по hn.

Таким образом, мы получим вполне определённое численное значение для каждого потенциала, которому мы и присвоим название Пространственной Гармоники степени -(n+1), а именно

(-1)

1·2·3…n

dh1

dh2

…

dhn

(13)

При

умножении этой величины на постоянную она по-прежнему остаётся потенциалом, создаваемым некоторой точкой n-го порядка.

129 г. Результат операции (13) имеет вид

– (n+1)

(14)

где Yn– функция n косинусов 1, 2, …, n углов между r и n осями и n(n-1)/2 косинусов 12 и т. д. углов между парами осей.

Если считать направления r и n осей задаваемыми точками на сферической поверхности, то можно рассматривать Yn как величину, меняющуюся от точки к точке на этой поверхности и являющуюся функцией n(n+1)/2 расстояний между n полюсами осей и полюсом радиус-вектора. Поэтому мы называем Yn Поверхностной Гармоникой порядка n.

130a. Теперь мы покажем, что каждой поверхностной гармонике порядка n соответствует наряду с пространственной гармоникой порядка -(n+1) и другая порядка n, т. е. что