Трактат об электричестве и магнетизме

Максвелл Джеймс Клерк

131 в. Если принять заряд внешней системы состоящим из отдельных частей, каждую из которых мы обозначим через dE а заряд особой точки порядка n считать образованным отдельными частичными зарядами de то

=

1

r

dE

.

(24)

Но если потенциал V_n, обусловленный наличием особой точки, равен

V

_n

=

1

r

de

,

(25)

а

потенциальная энергия, обусловленная воздействием E на e, равна

W

_n

=

(de)

=

1

r

dE

de

=

(V

_n

dE)

,

(26)

то последнее выражение представляет собой потенциальную энергию, обусловленную воздействием e на E.

Аналогично если ds - заряд на элементе ds оболочки, то, поскольку потенциал, обусловленный оболочкой в месте нахождения внешней системы E равен V_n, имеем

W

_n

=

(V

_n

dE)

=

1

r

dE

ds

=

(ds)

.

(27)

Последний член содержит суммирование по поверхности сферы. Приравнивая его к первому выражению для W_n, получим

ds

=

(de)

1

n!

A

_n

dⁿ

dh₁…dh_n

.

(28)

Если вспомнить, что 4a=(2n+1)Y_n, а A_n=aⁿ, то получим

Y

_n

ds

=

4

n!(2n+1)

a

ⁿ⁺²

dⁿ

dh₁…dh_n

.

(29)

Это уравнение сводит операцию интегрирования Y_nds по всем элементам поверхности сферы радиуса a к операции дифференцирования по n осям гармоники и вычисления значения этой производной в центре сферы, если только удовлетворяет уравнению Лапласа во всех точках внутри сферы, а Y_n– поверхностная гармоника порядка n.

132. Пусть теперь - пространственная гармоника положительной степени m вида

=

a

^{– m}

Y

_m

r

^m

.

(30)

На поверхности сферы r=a, a =Y_m, так что уравнение (29) принимает в этом случае вид

Y

_m

Y

_n

ds

=

4

n!(2n+1)

a

^n-m+2

dⁿ(Y_mr^m)

dh₁…dh_n

(31)

где

значение производной следует брать в центре сферы.

Если n меньше m, то в результате дифференцирования получится однородная функция от x, y и z степени m-n, значение которой в центре сферы равно нулю. Если n равно m, то в результате дифференцирования получится постоянная, значение которой мы определим в п. 134. При дальнейшем дифференцировании получится нуль. Таким образом, интеграл Y_mY_nds равен нулю при неодинаковых n и m.

Мы пришли к этому результату чисто математическим путём, потому что, хотя мы и пользовались такими физическими понятиями, как электрическая энергия, все эти понятия рассматривались не как физическое явление, подлежащее исследованию, а как определённое математическое выражение. Математик может с равным правом воспользоваться этими или какими-либо другими математическими функциями, которые он сочтёт полезными, но физик, которому приходится проводить математические преобразования, понимает их лучше всего, если каждый этап расчёта допускает физическое истолкование.

133. Определим теперь вид поверхностной гармоники Y_n в зависимости от положения точки P на сфере по отношению к m полюсам гармоники.

Мы имеем

Y

₀

=

1,

Y

₁

=

₁

,

Y

₂

=

3

2

₁

₂

–

1

2

₁₂

,

Y

₃

=

5

2

₁

₂

₃

–

1

2

(

₁

₂₃

+

₂

₃₁

+

₃

₁₂

),

(32)

и т.д.

Таким образом, каждое слагаемое в Y_n состоит из произведений косинусов, причём множители типа - с одним индексом, это косинусы углов между P и различными полюсами, а множители типа - с двумя индексами, это косинусы углов между полюсами.

Поскольку каждая ось вводится одним из n дифференцирований, индекс этой оси может встретиться один и только один раз среди индексов косинусов в каждом слагаемом.

Значит, если в каком-либо слагаемом имеется s косинусов с двойными индексами, то должны входить ещё n-2s косинусов с единичными индексами.

Будем записывать сумму всех произведений косинусов, в которых s косинусов с двойными индексами, в сокращённом виде

(

^n-2s

^s