Трактат об электричестве и магнетизме

Максвелл Джеймс Клерк

)

.

В каждом таком произведении все индексы встречаются по одному разу и ни один не повторяется.

Чтобы показать, что некоторый определённый индекс m встречается только у или только у , мы будем указывать его индексом у или . Таким образом, равенство

(

^n-2s

^s

)

=

(

n-2s

m

^s

)

+

(

^n-2s

s

m

)

(33)

показывает,

что вся совокупность произведений может быть разделена на две части, в одной из которых индекс m встречается среди направляющих косинусов переменной точки P, а в другой - среди косинусов углов между полюсами. Предположим теперь, что для определённого значения n

Y

_n

=

A

_n.0

(

ⁿ

)

+

A

_n.1

(

^n-2

¹

)

+…+

A

_n.s

(

^n-2s

^s

)

+…,

(34)

где через A обозначены численные коэффициенты. Мы можем записать эту сумму в сокращённой форме:

Y

_n

=

S[

A

_n.s

(

^n-2s

^s

)

],

где S показывает суммирование по всем значениям s не больше n/2, включая и нулевое.

Чтобы получить соответствующую пространственную гармонику отрицательной степени (n+1) порядка n умножим на r^{– (n+1)} и получим

V

_n

=

S[

A

_n.s

r

^{– (2s-n-1)}

(p

^n-2s

^s

)

],

(36)

где положено r=p, как в уравнении (3).

Если продифференцировать V_n по новой оси h_m, то получится -(n+1)V_n+1, и, следовательно,

(n+1)V

_n+1

=

S[

A

_n.s

(2n+1-2s)

r

^(2s-2n-3)

(p

n-2s+1

m

^s

)

–

–

A

_n.s

r

^(2s-2n-1)

(p

n-2s-1

s+1

m

)].

(37)

Чтобы получить члены, содержащие s косинусов с двойными индексами, нужно уменьшить s на единицу в последнем члене. В результате получим

(n+1)V

_n+1

=

S[

r

^(2s-2n-3)

{

A

_n.s

(2n-2s+1)

(p

n-2s+1

m

s

)-

–

A

_n.s-1

(p

n-2s+1

s

m

)}].

(38)

Но

оба эти типа произведений отличаются друг от друга лишь тем, что в одном из них индекс m встречается лишь у p, а в другом - у . Таким образом, коэффициенты перед ними должны быть одинаковы, а поскольку мы могли прийти к тому же результату, положив n+1 вместо n в выражении для V_n и умножив на n+1, мы получаем уравнения

(n+1)A

_n+1.s

=

(2n-2s+1)

A

_n.s

=

– A

_n.s-1

.

(39)

Если положить здесь s=0, то

(n+1)A

_n+1.0

=

(2n+1)A

_n.0

(40)

и, следовательно, поскольку A_1.0=1,

A

_n.0

=

2n!

2ⁿ·(n!)^2

.

(41)

Отсюда находится общее выражение для коэффициента

A

_n.s

=

(-1)

^s

(2n-2s)!

2^n-sn!(n-s)!

(42)

и окончательно тригонометрическое выражение для поверхностной гармоники

Y

_n

=

S

(-1)

^s

(2n-2s)!

2^n-sn!(n-s)!

(

^n-2s

^s

)

.

(43)

Это выражение определяет значение поверхностной гармоники в любой точке P сферической поверхности через косинусы расстояний P от различных полюсов и расстояний полюсов друг от друга.

Легко видеть, что если какой-либо из полюсов переносится в противоположную точку сферической поверхности, то значение гармоники меняется на противоположное по знаку. Действительно, каждый косинус, содержащий индекс этого полюса, поменяет знак, а в каждое слагаемое гармоники индекс этого полюса входит один и только один раз.

Если два или любое чётное число полюсов переносятся в соответственно противоположные им точки, то значение гармоники, очевидно, не меняется.

Профессор Сильвестер показал (Phil. Mag., Oct. 1876), что при заданной гармонике задача определения n прямых, совпадающих с её осями, имеет одно и только одно решение, хотя, как мы видели, положительные направления этих осей можно парами менять на противоположные.

134. Теперь мы можем определить значение поверхностного интеграла Y_mY_nds в случае, когда порядок обеих поверхностных гармоник одинаков, хотя направления их осей могут быть в общем случае разными.