Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
Таким образом, потенциал в точке p с координатами x, y, z, обусловленный наведённым электричеством на окружающих телах, равен
n
=
(-1)
n
A
n
dn
d'h1d'h2…d'hn
G
,
(4)
где штрихи при d показывают, что дифференцирование производится по x', y', z'. После дифференцирования эти координаты приравниваются к координатам центра сферы.
Удобно считать Yn
dn
d'h1…d'hn
=
D'
n
.
(5)
Здесь не нужно ставить индекс s или c, указывающий, какая из функций, sin или cos , входит в гармонику.
Мы можем теперь написать полное выражение для потенциала , возникающего из-за наведённого заряда:
=
A
0
G
+
(-1)
n
A
n
an
n!
D'
n
G
.
(6)
Но на сфере потенциал постоянен, т. е.
+
1
a
A
0
+
rn1
an1+1
A
(1)
n1
Y
(1)
n1
=
const.
(7)
Применим теперь к этому выражению операцию Dn, где дифференцирование производится по x, y, z, а значения n и независимы от n и . В (7) обращаются в нуль все члены, кроме члена с Vn и мы получаем
– 2
(n1+1)!(n1– 1)!
22n1!
1
an1+1
A
(1)
n1
=
=
A
0
D
(1)
n1
G
+
(-1)
n
A
n
an
n!
D
(1)
n1
D'
n
G
.
(8)
Таким образом, мы получили систему уравнений, в левой части которых содержится подлежащий определению коэффициент. Первое слагаемое в правой части содержит A0 заряд сферы, его можно считать главным слагаемым.
Если пока остальными слагаемыми пренебречь, то получится в первом приближении
A
(1)
n1
=
–
1
2
22n1!
(n1+1)!(n1– 1)!
A
0
a
n1+1
D
n
G
.
(9)
Если
a
n1+1
D
n
G
<
n
1
!
a
b
n1+1
.
Следовательно, при b много большем радиуса сферы a, коэффициенты остальных сферических гармоник много меньше A0. Отношение последующих членов в правой части уравнения (8) к первому будет порядка (a/b)2n+n1+1. Поэтому в первом приближении ими можно пренебречь. Во втором приближении можно в эти члены подставить значения коэффициентов из первого приближения и так далее до тех пор, пока не будет достигнута нужная степень приближения.
Распределение электричества на почти сферическом проводнике
145 а. Пусть уравнение поверхности проводника имеет вид
r=a(1+F)
,
(1)
где F - функция от направления a, т.е. от и квадратом которой можно пренебречь в данном исследовании.
Представим F в виде ряда по поверхностным гармоникам
F
=
f
0
+
f
1
Y
1
+
f
2
Y
2
+…+
f
n
Y
n
.
(2)
Из всех этих членов первый член определяется отличием среднего радиуса от a Если предположить, что a равно среднему радиусу, т. е. приблизительно равно радиусу сферы того же объёма, что и заданный проводник, то коэффициент f0 обратится в нуль.
Второе слагаемое, с коэффициентом f1, зависит от расстояния между центром масс проводника, предполагаемого однородным по плотности, и началом координат. Если принять центр масс за начало координат, то коэффициент f1 тоже обратится в нуль.
Предположим сначала, что на проводник с зарядом A0 не действует внешняя электрическая сила. Тогда потенциал вне проводника должен иметь вид
V
=
A
0
1
r
+
A
1
Y'
1
1
r2
+…+
A
n
Y'
n
1
rn+1
+…
.
(3)
Здесь не предполагается, что поверхностные гармоники того же вида, что и в разложении F.