Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
(n-)(n--1)(n--2)(n--3)
2·4·(2n-1)(2n-3)
n--4
– …
(70)
и
n
=
n-
–
(n-)(n--1)
4(+1)
n--2
2
+
+
(n-)(n--1)(n--2)(n--3)
4·8·(+1)(+2)
n--4
4
– …
,
(71)
то
n
=
2n-n!(n+)!
(2n)!!
n
,
(72)
так
Теперь мы можем выразить обе тессеральные гармоники порядка n типа через или :
Y
S
n
=
(2n)!
2n+n!n!
n
2sin
=
(n+)!
22n!!
n
2sin
,
(73)
Y
C
n
=
(2n)!
2n+n!n!
n
2cos
=
(n+)!
22n!!
n
2cos
.
(74)
Следует учесть, что если =0 то sin =0, а cos =1.
Для каждого значения от 1 до n включительно имеются две гармоники, но при =0
Y
S
n
=
0, а
Y
C
n
=
P
n
– зональная гармоника. Таким образом, полное число гармоник порядка n равно 2n+1, как и должно быть.
140 б. Численное значение Y принятое в этой книге, получается дифференцированием r– 1 по n осям и делением на n!. Оно представляет собой произведение четырёх множителей - синуса или косинуса от , , функции от , (или от и ) и численного коэффициента.
Произведение второго и третьего множителя, т. е. зависящая от часть, выражается через три различные функции, отличающиеся, однако, лишь численными множителями. Если её представить как произведение на ряд по убывающим степеням , первый член которого равен n-, то получится функция, которую, следуя Томсону и Тэту, мы обозначаем через .
Функция, которую Хайне (Heine) (Handbuch der Kugelfunctionen, § 47) обозначает P(n) и называет zugeordnete Function erster Art, или, как переводит Тодхантер, «присоединённая функция первого рода» (associated function of the first kind) связана (n) соотношением
(n)
=
– 1
/2
P
(n)
.
(75)
Ряд по убывающим степеням , начинающийся с n-, обозначен Хайне символом P(n) а Тодхантером - символом (,n).
Этот ряд можно представить в двух других видах:
P
(n)
=
(,n)
=
(n-)!
(2n)!
dn+
dn+
(^2-1)
n
=
2n(n-)!n!
(2n)!
d
d
P
n
.
(76)
Последнее
T
(n)
=
d
d
P
n
=
(2n)!
2n(n-)!n!
(n)
.
(77)
Если эту же величину представить как однородную функцию от и и поделить на коэффициент перед n-n, получится функция, обозначенная нами через (n).
140 в. Гармоники симметричной системы классифицируются Томсоном и Тэтом в зависимости от формы кривых на сфере, на которых они обращаются в нуль.
Значение зональной гармоники в произвольной точке сферы является функцией косинуса расстояния от полюса. Приравнивая значение функции нулю, получим уравнение n-й степени, все корни которого лежат в промежутке от -1 до +1, и, следовательно, соответствуют n широтным параллелям на сфере.
Ограниченные этими параллелями зоны поочерёдно положительны и отрицательны, причём круг, окружающий полюс, всегда положителен.
Таким образом, зональные гармоники пригодны для выражения функции, обращающейся в нуль на определённой параллели на сфере или на какой-либо конической поверхности в пространстве.
Другие гармоники симметричной системы встречаются парами, причём одна функция в паре содержит косинус, а другая - синус от . Поэтому они обращаются в нуль на меридианных кругах на сфере, а также на n- параллелях, так что сферическая поверхность разделена на 2(n--1) четырехугольников или «тессер», считая в том числе 4 треугольников у полюсов. Поэтому они полезны при исследованиях, касающихся четырехугольников (тессер) на сфере, ограниченных меридианами и параллелями.
Все эти гармоники называются Тессеральными, за исключением последней пары, обращающейся в нуль лишь на 2n меридианных кругах и делящих сферическую поверхность на 2n секторов. Эти две гармоники называются Секторными.
141. Найдём теперь значение поверхностного интеграла от квадрата произвольной тессеральной гармоники по сфере. Для этого можно применить метод п. 134. Перейдём от поверхностной гармоники Yn к пространственной гармонике положительной степени, умножив её на rn продифференцируем эту пространственную гармонику по n осям самой этой гармоники, а затем положим x=y=z=0 и умножим результат на
4a^2
n!(2n+1)
.
Эта последовательность операций запишется в наших обозначениях так: