Трактат об электричестве и магнетизме

Максвелл Джеймс Клерк

(Y

n

)^2

ds

=

4a^2

n!(2n+1)

D

n

(

r

ⁿ

Y

n

).

(78)

Записав пространственную гармонику в виде однородной функции от s, и :

r

ⁿ

Y

S

n

=

(n+)!

2²n!!

i(

–

)

x

x

z

^n-

–

(n-)(n--1)

4(+1)

z

^n--2

+…

,

(79)

мы

видим, что после выполнения дифференцирований по z все слагаемые в сумме, кроме первого, исчезают и появляется множитель (n-)!.

Продолжая дифференцирование по и , мы избавимся и от этих переменных, введя при этом множитель -2i!, так что окончательный результат имеет вид

Y

S

n

^2

ds

=

8a^2

2n+1

(n+)!(n-)!

2²n!n!

.

(80)

Правую часть этого уравнения мы сокращённо обозначим через [n,].

Это соотношение справедливо для всех значений от 1 до n включительно, но при =0 нет гармоники с sin .

Таким же способом можно показать, что

Y

C

n

^2

ds

=

8a^2

2n+1

(n+)!(n-)!

2²n!n!

(81)

для всех значений от 1 до n включительно.

При =0 гармоника становится зональной гармоникой и

Y

C

n

^2

ds

=

(P

_n

)^2

ds

=

4a^2

2n+1

,

(82)

что можно получить прямо из уравнения (50), положив Y_n=P_m и учтя, что значение зональной гармоники в её полюсе равно единице.

142 а. Теперь мы можем применить метод п. 136 для определения коэффициента перед любой тессеральной поверхностной гармоникой в разложении произвольной функции от положения точки на сфере. Действительно, пусть F - произвольная функция и A_n– коэффициент перед Y_n в разложении этой функции по поверхностным гармоникам симметричной системы. Тогда

FY

n

ds

=

A

_n

Y

n

^2

ds

=

A

n

[n,]

,

(83)

где [n,] - сокращённое обозначение значения поверхностного интеграла, даваемого

равенством (80).

142 б. Пусть - произвольная функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа и не имеющая особых точек в пределах радиуса a от точки O, которую мы примем за начало координат. Такую функцию всегда можно разложить в ряд по пространственным гармоникам положительной степени с началом координат в точке O.

Одним из способов такого разложения является построение сферы с центром в точке O радиусом, меньшим a, и разложение значений потенциала на поверхности сферы в ряд по поверхностным гармоникам. Умножая каждую гармонику на r/a в степени, равной порядку поверхностной гармоники, мы получим пространственные гармоники, суммой которых и является заданная функция.

Но более удобным способом, не требующим интегрирования, является дифференцирование по осям гармоник симметричной системы.

Предположим, например, что в разложении есть член вида

A

C

n

Y

C

n

r

ⁿ

.

Если к функции и её разложению применить операцию

d^n-

dz^n-

d

d

+

d

d

и положить после дифференцирования x, y, z равными нулю, то в разложении исчезнут все члены, кроме члена, содержащего

A

C

n

Перейдя в операторе, применяемом к функции к дифференцированию по действительным осям, мы получим равенство

d^n-

dz^n-

d

dx

–

(-1)

1·2

d^{– 2}

dx^{– 2}

d^2

dy^2

+…

=

=

A

C

n

(n+)!(n-)!

2n!

,

(84)

позволяющее определить коэффициент перед любой гармоникой ряда через производные от по x, y, z в начале координат.

143. Из уравнения (50) видно, что любая гармоника всегда может быть представлена как сумма системы зональных гармоник того же порядка, полюса которых распределены по поверхности сферы. Упрощение этой системы не представляется, однако, лёгким. Но с целью сделать наглядными некоторые свойства сферических гармоник, я рассчитал зональные гармоники третьего и четвёртого порядка и описанным выше методом сложения функций построил эквипотенциальные линии на сфере для гармоник, являющихся суммой двух зональных гармоник (см. рис. VI-IX в конце этого тома).