Трактат об электричестве и магнетизме
Шрифт:
На поверхности проводника потенциал равен потенциалу проводника, т. е. постоянной величине a. Поэтому, выражая степени r через a и F и пренебрегая квадратами и высшими степенями F, мы получим
=
A
0
1
a
(1-F)
+
A
1
1
a2
Y'
1
(1-2F)
+…+
+
A
n
1
an+1
Y'
n
(1-(n-1)F)
+…+
(4)
Поскольку
Если теперь подставить вместо F в первом члене (4) его разложение по сферическим гармоникам и приравнять нулю слагаемые со сферическими гармоникам одинакового порядка, мы получим
=
A
0
/a
,
(5)
A
1
Y'
1
=
A
0
af
1
Y
1
=
0,
(6)
. . . . . . . . .
A
d
Y'
d
=
A
0
a
d
f
d
Y
d
.
(7)
Из этих уравнений следует, что функции Y должны быть того же типа, что и Y' и, следовательно, совпадать с ними, и что A1=0 и Ad=A0anfn.
Для определения плотности заряда в произвольной точке поверхности можно воспользоваться уравнением
4
=
–
dV
d
=
–
dV
dr
cos (приближённо).
(8)
Здесь - нормаль, а - угол между нормалью и радиусом. Поскольку в нашем исследовании мы считаем F и его первые производные по и малыми, мы можем считать cos =1, так что
4
=
–
dV
dr
=
A
0
1
r2
+…+
(n+1)
A
n
Y
n
2
rn+2
+…
.
(9)
Выражая степени r через a и F и пренебрегая произведениями F на An, получим
4
=
A
0
1
a2
(1-2F)
+…+
(a+1)
A
n
1
an+2
Y
n
.
(10)
Разлагая F
4
=
A
0
1
a2
[
1
+
f
2
Y
2
+
2f
3
Y
3
+…+
(n-1)
f
n
Y
n
]
.
(11)
Таким образом, если поверхность отличается от поверхности сферы тонким слоем, толщина которого меняется как сферическая гармоника порядка n то отношение разности поверхностных плотностей заряда в любых двух точках к их сумме в n-1 раз больше отношения разностей радиус-векторов этих двух точек к их сумме.
145 б. Пусть теперь почти сферический проводник находится под действием внешних электрических сил, потенциал которых обозначим через U. Разложим его в ряд по сферическим гармоникам положительной степени с началом координат в центре объёма проводника
U
=
B
0
+
B
1
rY'
1
+
B
2
r
2
Y'
2
+…+
B
n
r
n
Y'
n
+…
.
(12)
Штрихи при Y показывают, что эти гармоники не обязательно того же типа, что гармоники того же порядка в разложении для F.
Если бы проводник был точно сферическим, то потенциал, создаваемый его поверхностным зарядом в точке вне проводника, был бы равен
V
=
A
0
1
r
–
B
1
a3
r2
Y'
1
– …-
B
n
a2n+1
rn+1
Y'
n
– …
.
(13)
Пусть истинный потенциал, создаваемый поверхностным зарядом, равен V+W где
W
=
C
1
1
r2
Y''
2