Веревка вокруг Земли и другие сюрпризы науки
Шрифт:
Плюс и минус
Одним из основоположников современной вычислительной техники стал британский математик Алан Тьюринг. А прославился он отчасти благодаря так называемой «машине Тьюринга», которая существовала исключительно умозрительно — в воображении ученого и его научных трудах. Тем не менее нынешние компьютеры работают во многом на базе гениальных догадок Тьюринга и небольшой группки его единомышленников, чьи главные открытия пришлись на 1930-е годы.
Тьюринг пытался найти ответ на вопрос, поставленный в 1928 году немецким математиком Давидом Гильбертом: возможно ли найти алгоритм, позволяющий
В научной работе, посвященной этой проблеме, Тьюринг придумал воображаемую машину — это был отличный образец того, что ученые именуют «мысленным экспериментом». Машина состояла из бесконечной ленты, разделенной на ячейки, и головки, которая, действуя по принципу головки магнитофона, могла записывать в ячейки символы и стирать их.
В своей работе Тьюринг описывает изменения в ячейках, производимые так называемым компьютером, или вычислителем (в те времена слово «компьютер» означало человека, а не предмет):
«Вычисление обычно осуществляется путем записи неких символов на бумаге. Представим себе, что эта бумага поделена на клеточки, как тетрадка по арифметике… Поведение компьютера в любой момент времени определяется символами, которые он воспринимает, и его состоянием в данный конкретный момент» [18] .
18
Алан Тьюринг. «О вычислимых числах, с приложением к проблеме разрешимости» (Turing, А. М. «On Computable Numbers, with an Application to the Entscheidungsproblem», Proceedings of the London Mathematical Society, 2 42: 230–265). Статья представлена в журнал «Труды Лондонского математического общества» 28 мая 1936 года; опубликована в 1937 году. (Прим. ред.).
Простейший репертуар символов состоит из 0 и 1, и к этому репертуару прилагается таблица инструкций. Такая таблица может включать в себя, например, следующие правила:
Если головка находится над ячейкой, содержащей 0, то 0 стирается и на его место записывается 1, после чего лента сдвигается вправо.
Если головка находится над ячейкой с символом 1, то 1 стирается и на ее место записывается 1 (снова), после чего лента сдвигается влево.
Если головка находится над ячейкой с символом 0, то 0 стирается и на его место записывается 1, после чего лента сдвигается влево.
Если головка находится над ячейкой с символом 1, то 1 стирается и на ее место записывается 1 (снова), после чего лента сдвигается вправо.
Если головка находится над ячейкой с символом 1, то 1 стирается и на ее место записывается 1 (снова), после чего лента остается на месте.
Эти инструкции (всего лишь часть полной таблицы правил) можно коротко выразить так:
(0,1, П), (1,1, Л), (0,1, Л), (1,1, П) и (1,1, Н)
Таблица инструкций используется снова и снова, пока машина от некоего начального состояния (определенного набора символов) не перейдет к конечному состоянию. При должном применении правил начальное состояние ленты — скажем, двоичное отображение числа 27 — может прийти к конечному состоянию — 729, — нужно только воспользоваться набором инструкций для умножения чисел на самих себя.
Умозрительно изобретя «машину Тьюринга», которая способна решить некую одну задачу с помощью набора инструкций, предназначенного именно для этой задачи, ученый продемонстрировал, что можно изобрести «универсальную машину Тьюринга», способную имитировать все
Хотя эта «машина Тьюринга» так и не была создана в действительности, Тьюринг вовсю трудился над производством других, уже вполне реальных устройств для решения задач. Одна из важнейших задач, которую Тьюринг пытался решить и которая остается нерешенной по сей день, — это математическое выражение, названное «гипотезой Римана», оно касается распределения простых чисел среди натуральных.
В 1939 году Тьюринг получил грант на сборку машины, которая состояла из тридцати сцепленных между собой шестеренок с разными количествами зубцов, соответствующими определенным логарифмам. У каждой шестерни была своя гиря, подвешенная на том или ином расстоянии от центра, шестерни были взаимно соединены в группы и приводились в движение большим рычагом.
Биограф Тьюринга Эндрю Ходжес (р. 1949) писал:
«Летом 1939 года в комнате [Тьюринга] чаще всего можно было найти нечто вроде головоломки из шестерней, распределенных по всему полу… Алан пытался, но самым жалким образом не мог объяснить, для чего все это нужно. Если движение шестерней и было как-то связано с закономерностью распределения простых чисел, которых по мере приближения к бесконечности становится все меньше, то совершенно не ясно, как именно».
Потерпев неудачу при создании машины Римана, Тьюринг, однако, внес существенный вклад в разработку одного из самых важных в истории вычислительной техники приборов — машины для расшифровки кода «Энигма», которым Германия пользовалась в ходе Второй мировой войны. Эта работа, как принято считать, помогла закончить войну на два года раньше и принесла Тьюрингу орден Британской империи.
Все мы слышали о числе «пи», обозначаемом на письме греческой буквой ,но немногие из нас осведомлены о его занятных свойствах.
Происхождение этого числа лишено всякой загадочности. Еще самые первые математики, включая древних египтян, индийцев, шумеров и греков, открыли, что любые окружности имеют одно и то же соотношение длины и диаметра. Будь то окружность размером с мелкую монетку или с орбиту планеты Плутон, соотношение всегда одно и то же — примерно 3,14, то есть длина окружности всегда в три с небольшим раза превышает ее диаметр.
Знание этого соотношения может пригодиться, если вы вдруг решите начертить на земле окружность определенной длины, например 10 метров, а под рукой у вас будут только колышек, веревка и кусок мела. Длина веревки должна быть чуть меньше 1/6 от длины окружности, то есть в нашем случае 1,6 метра, поскольку радиус, как известно, равен половине диаметра.
По мере совершенствования методов измерения значение числа становилось все более точным. Древние египтяне для его выражения использовали дробь 25/8, шумеры — 256/81, а сейчас, когда ученым больше не нужно ходить с рулеткой вокруг огромных кругов и можно воспользоваться компьютерными вычислениями, значение числа определено с точностью до 1 240 000 000 000 знаков после запятой — на вид это случайная последовательность цифр от 0 до 9. Число начинается с 3,1415 и продолжается еще на 1 239 999 999 996 знаков. И, как и в случае с Вавилонской библиотекой из одноименного рассказа Хорхе Борхеса, это число, если продлить его до бесконечности, содержит любую комбинацию цифр, какую бы вы ни задумали. Моя дата рождения, например, начинается с цифры с порядковым номером 36 764 575, а моя фамилия, если принять латинскую А за единицу, В — за двойку и так далее, начинается с цифры под номером 82 062 313.