Веревка вокруг Земли и другие сюрпризы науки
Шрифт:
Теперь о том, как выстроить этот список. Сложите числитель и знаменатель каждой дроби и расположите их в порядке возрастания результата сложения, который мы обозначим как 5. (Если у дроби в числителе отрицательное число, просто не обращайте на знак «минус» внимания.) Итак, у дроби 1/2 s равняется 3; у 1/3 s равен 4; у 11/17 — 28 и так далее. У некоторых дробей будут одинаковые значения s, но поскольку наша единственная цель — выстроить длинную упорядоченную последовательность, мы можем ввести какое-нибудь правило, позволяющее однозначно определить, какая дробь должна стоять первой. Правило может быть таким: если несколько дробей дают одно и то же значение в, мы будем располагать их в порядке возрастания знаменателя. Так, у семи дробей: -4/1,1/4,2/3,3/2,4/1,-3/2,-2/3 — s равняется 5. Расположим их в порядке возрастания знаменателя: 4/1, -4/1, 3/2, -3/2, 2/3, -2/3, 1/4. А теперь пронумеруем каждый элемент этого длинного списка дробей так,
Итак, каждая дробь будет представлена в списке только один раз, и ей будет соответствовать целое число, равное номеру этой дроби в списке. Ни одна дробь не останется неохваченной, и ни одно целое число не окажется без соотнесенной с ним дроби, так что в обоих рядах будет одинаковое количество чисел.
Отлично! Так, может быть, признаем, что все бесконечные множества предметов имеют равное количество составляющих их элементов, даже если кажется, что это маловероятно, как в случае с дробями? Но как тогда могут возникнуть бесконечно большие множества предметов, которые больше, чем бесконечность порядковых номеров?
Немецкий математик Георг Кантор (1845–1918) обнаружил два ряда чисел, которые нельзя взаимно-одназначно соотнести друг с другом, как мы только что проделали с порядковыми номерами и дробями. Он оттолкнулся от посылки, что соотнести их можно, и нашел противоречие. Помните? — если вы придерживаетесь гипотезы, будто все лебеди белые, достаточно найти одного черного, и вся гипотеза пойдет насмарку (см. главу «Есть ли в космосе черные лебеди?»).
В одном из рядов чисел, рассматривавшихся Кантором, были натуральные, или целые, числа — такие же, как использованные нами. Другой совокупностью были так называемые вещественные (или действительные) числа. Вещественные числа эквивалентны точкам на линии от 0 до бесконечности, таким образом, их множество включает в себя целые числа и дроби, но также оно включает и иррациональные числа, которые не могут быть выражены в виде дробей с целыми числителями и знаменателями (см. главу « = 3»), а могут выражаться лишь в виде десятичной дроби с длинным рядом знаков после запятой. Простые дроби тоже можно перевести в десятичные, но у них через несколько знаков после запятой начнутся сплошные нули. Так, 5/8 — это то же самое, что 0,62 500 000 000, тогда как в иррациональном числе 17,38279462900962835687648… знаки после запятой можно перечислять вечно.
Чтобы доказать, что вещественные числа нельзя взаимно-однозначно соотнести с целыми числами, Кантор продемонстрировал: как бы вы ни пытались выстроить вещественные числа в организованную последовательность, как мы проделывали с дробями, всегда есть шанс, что всплывет какое-нибудь вещественное число, которого в этой последовательности нет.
И вот как он это обосновал. Допустим, у нас есть совокупность всех вещественных чисел (которых бесконечное количество), и мы ввели некое правило, позволяющее выстроить их по порядку. Полученная нами в результате последовательность может выглядеть, например, так:
| Целое число | Вещественное число |
| 1 | 7,2728654901088… |
| 2 | 2,0709903829756… |
| 3 | 18,696243576675… |
| 4 | 0,8717454638892… |
| 5 | 3,8342020203020… |
| 6 | 0,6766682920082… |
| 7 | 3,1416269873562… |
Какова бы ни была закономерность расположения чисел, она не очевидна, но речь сейчас не об этом. До тех пор, пока мы пребываем в уверенности, что можем соотнести любое вещественное число с привычным и милым нашему сердцу миром целых чисел, мы неизменно будем получать такую вот странноватую последовательность.
Итак, вы можете сунуть мне под нос этот список и похвастаться использованным правилом расположения чисел, благодаря которому любое взятое с потолка вещественное число вплоть до бесконечности обязательно где-нибудь в этом списке да найдется, а значит, бесконечность вещественных чисел равна бесконечности соответствующих им порядковых номеров, то есть целых чисел. Но как бы ни выглядел ваш список, я могу придумать вещественное число, которого там не будет.
Для простоты сосредоточимся только на знаках после запятой.
Я могу составить число, чей первый знак после запятой будет отличаться от первого знака
Взяв в качестве образца приведенный выше список, я могу составить число 0,3942501… Многоточие означает, что количество знаков после запятой бесконечно, как и у большинства вещественных чисел. А теперь я могу доказать, что, каким бы правилом при расположении чисел вы ни руководствовались, моего числа в вашем списке нет. Его не может там быть из-за самого метода, каким я его создавал, ведь от каждого вещественного числа в вашем списке оно отличается хотя бы на одну цифру. Это и есть тот «черный лебедь», доказывающий, что изначальное допущение, будто вы установили взаимно-однозначное соответствие между всеми вещественными и всеми целыми числами, неверно. Эти две бесконечности — бесконечность вещественных чисел и бесконечность целых чисел — существенно разнятся, на этой разнице Кантор основал целое новое направление теории чисел. Теперь, быть может, вас не удивит, что математики полагают, будто «размеров» бесконечностей не два, а гораздо больше. В действительности их бесконечно много, и, в довершение картины, данная бесконечность больше любой из бесконечностей, входящих в это количество.
За последние годы я оказывал компьютерную поддержку сразу нескольким научным проектам. Среди них были поиски внеземного разума, погоня за очень большими простыми числами и тестирование алгоритмов для построения трехмерного изображения белковых молекул исходя из их линейной формулы.
Причина, по которой меня попросили помочь в столь широком спектре важных научных исследований, к сожалению, почти не связана с присущими мне способностями и талантами и объясняется главным образом наличием у меня персонального компьютера.
Ученые, которые работали над этими проектами и десятками им подобных, привлекали скрытые ресурсы, таящиеся в недостаточном использовании домашними компьютерами вычислительного времени, которое в общей сложности составляет миллионы часов и позволяет добавить мощности собственным компьютерам ученых, когда требуется производить сложнейшие математические расчеты. Большую часть времени, даже когда мы работаем с домашними компьютерами, они загружены не на полную катушку. Один из первых проектов по использованию сэкономленного вычислительного времени назывался SETI — эта аббревиатура расшифровывается как Поиск Внеземного Разума — и требовал переработки огромных массивов информации, которая ежедневно поступает с устройства, закрепленного на гигантском радиотелескопе на острове Пуэрто-Рико. Поступающие данные являют собой разновидность «белого шума» — это радиоволны, хаотично испускаемые звездами и галактиками. Однако ученые надеются, что однажды среди этого шума попадется сигнал от представителей внеземной цивилизации, который будет выделяться некоторой регулярностью на фоне общей хаотичности. Скачав и установив простенькую программу, пользователи домашних компьютеров могут подключиться к анализу этой информации, которая поступает к каждому участнику программы регулярными порциями. Присоединившись к этому проекту, вы можете наблюдать, как программа на вашем компьютере анализирует полученные данные, и мечтать о том мгновении, когда ваш компьютер заметит регулярно поступающий сигнал и поставит весь мир на уши, отправив сообщение об этом в SETI.
Это была хорошая задумка, которую тут же подхватили другие ученые: им тоже требовалась обработка больших массивов данных, которая не требует сложнейшего программного обеспечения — достаточно обычного домашнего компьютера.
Такие проекты существуют по сей день, для участия в них вам всего лишь нужно подать заявку и скачать ту или иную специальную программу. Но я наткнулся на еще один хитроумный способ использования вашего и моего компьютеров, который даже не требует от нас согласия и контроля. Блуждая по Интернету, вы наверняка сталкивались с тем, что некоторые сайты просят вас распознать и ввести код из искаженных и не сразу узнаваемых цифр или букв. Это делается для того, чтобы удостовериться: сайтом пытается воспользоваться человек, а не компьютерная программа, ищущая, как бы обдурить он-лайновые сервисы — например, скупить билеты на концерт для перепродажи и взвинтить цены. Эти слова или буквенно-цифровые коды называются CAPTCHA [25] .
25
CAPTCHA (от англ.Completely Automated Public Turing test to tell Computers and Humans Apart) — полностью автоматизированный публичный тест Тьюринга для различения компьютеров и людей. В рунете часто транскрибируется как «капча». (Прим. перев.).