Веревка вокруг Земли и другие сюрпризы науки
Шрифт:
Рассел, которому часто возражали, что, мол, в доказательстве элементарных арифметических равенств нет никакой нужды, писал: «“Ничто не заставит меня усомниться, что 2 и 2 в сумме дают 4”, — скажете вы. И будете правы практически всегда, за исключением крайних случаев — ведь только в крайнем случае вы сомневаетесь, что вот это конкретное животное — собака, а вот эта конкретная длина — менее метра. Два — это не просто цифра, а количество, и заявление “2 и 2 будет 4” лишено смысла, если не применяется на практике. Две собаки и еще две собаки — всего несомненно четыре собаки, но бывает так, что вы не уверены, собаки ли две из них. “Ну, это в любом случае четыре животных”, — можете сказать вы. Однако существуют микроорганизмы, о которых нельзя с определенностью сказать, принадлежат ли они к царству животных или растений. “Ладно, четыре живых существа”, — скажете вы. Но опять же, иногда не так-то просто
Доказывая, что 1 + 1 = 2, основное место в своих рассуждениях Рассел и Уайтхед отводят попыткам дать определение понятию «сущность».
(Да и это доказательство применимо, только если «ввести определение, что такое арифметическое действие сложения», а это уже отдельный разговор.)
Один математик попытался переформулировать то, что пытались доказать Рассел и Уайтхед, воспользовавшись не символами, а словами: «Множества аир, каждое из которых состоит всего из одного элемента, считаются непересекающимися (то есть не имеющими общих элементов), если и только если их объединение дает ровно два элемента».
В таком виде доказательство выглядит несколько более доступным, хотя требует некоторых дополнений. Теория множеств как особый раздел математики возникла в конце XIX столетия. Эта теория базируется на понятии «множества» как совокупности предметов, рассматривает правила объединения предметов в множества и анализирует отношения между множествами. Например, выражение *11·54 (см. выше на рисунке) относится к высказыванию, помещенному в другом месте книги и гласящему: «Можно взять утверждение о том, что существуют две вещи, и разделить его на два утверждения — каждое о существовании одной из вещей». Простые числа и то, как мы ими оперируем в быту, — всего лишь слабая тень величественного здания математики, возведенного математиками-философами наподобие Рассела и Уайтхеда.
Однако чтобы понять, почему в математике важна точность, особых знаний не требуется. Иногда привычный нам способ смотреть на вещи может завести в тупик (даже на уровне школьного курса математики). Вот вам, к примеру, доказательство, что 3 = 4.
Допустим:
а + b = с
Это выражение также можно записать следующим способом:
4а - 3а + 4b - 3b = 4с - Зс
(Потому что 4а - 3а — это просто «а», 4b - 3b — просто «b», и так далее.)
Преобразуем получившееся равенство:
4а + 4b - 4с = 3а + 3b - Зс
(Переносить элементы из одной части равенства в другую разрешается, если при этом вы не забываете сменить знак на противоположный, то есть с минуса на плюс и наоборот. Так, например, 4х - 3 = 0 можно иначе выразить как 4х = 3, переместив -3 в другую часть равенства и сменив знак на плюс. Это то же самое, что добавить одно и то же число, +3, к обеим частям равенства. Если добавить к обеим частям равенства одинаковое число, равенство сохраняется.)
Теперь преобразуем пример следующим образом, то есть вынесем общий множитель за скобки:
4 (а + b - с) = 3 (а + b - с)
Разделим обе части на (а + b - с) и придем к выводу, что 4 = 3.
В основе этого ложного умозаключения лежит ошибка, которую может совершить каждый, кто не очень чуток к законам арифметики. Столкнувшись с подобной головоломкой, многие из нас предпочитают руководствоваться здравым смыслом, а не блестящими образцами доказательств, порожденных научной мыслью. Мы уподобляемся госпоже Ла Туш, даме, жившей в Викторианскую эпоху и известной лишь тем, что однажды она изрекла: «Ненавижу сложение. Нет большего заблуждения, чем называть арифметику точной наукой. Сплошные пермутации и аберрации, различимые лишь для таких благородных умов, как мой; неприметные вариации, которых простой бухгалтер и не увидит; скрытые законы чисел, которые требуют недюжинных умственных способностей, вроде моих. К примеру, если вы сложите слагаемые, расположенные столбиком, снизу вверх, а потом сверху вниз, — результат всегда получится разный» [23] .
23
К сожалению, здесь приходится поправить автора книги. Женщина, перу которой принадлежат эти строки, вовсе не безвестна. Мария Ла туш (урожденная Полли Прайс, 1824–1906) происходила из богатой аристократической
Математика имеет каверзное свойство очень быстро все усложнять и запутывать. Казалось бы, начали вы разбирать простую и всем понятную задачку, и вот — оглянуться не успели, как все вышло из-под контроля, а у вас от напряжения мозг свело.
Рассмотрим одну из таких задачек. На обеде, куда приглашены шестеро гостей, либотрое из них уже знакомы друг с другом, либотрое совершенно друг друга не знают. Докажите это.
Ситуация вполне правдоподобная, но, сколько ни думай, доказательство все время ускользает. В условии не говорится, что собравшиеся делятся на две группы: друзья и незнакомцы. Также нигде не сказано, что они все не могут быть друзьями или чужаками. Вроде бы очевидно: если среди собравшихся есть двое друзей, то остальные четверо должны быть чужаками, но это тоже неверно. Двое из этих самых «чужаков» могут быть знакомы между собой, но не знать ни одного из «друзей».
А вот математик враз покончит со всей этой неразберихой. Он возьмет карандаш, а лучше два карандаша, красный и синий, или даже три — красный, синий и черный, и нарисует круг из шести черных точек, каждая из которых обозначает гостя. Затем он соединит красными линиями все пары людей, которые знают друг друга, и синими линиями — пары незнакомцев. В этом узоре из пятнадцати линий обязательно окажется либо красный, либо синий треугольник: трое людей, знакомых друг с другом, либо трое, которые друг друга не знают.
Конечно, рисунок не доказывает изначальное высказывание, зато он переводит неясную ситуацию с людьми в четкое математическое выражение. Задача теперь рассматривает точки, соединенные линиями, то есть схему, а не людей и их взаимоотношения.
Область математики, имеющая дело с такими задачами, называется теорией Рамсея — в честь гениального кембриджского математика Фрэнка Пламптона Рамсея (1903–1930), умершего в 26-летнем возрасте, но успевшего внести существенный вклад в математику, экономику и философию. Задачка с обедом — одна из простейших в этой области, графы к более сложным задачам содержат больше точек, соединенных большим количеством линий. Граф, в котором каждая точка соединена со всеми остальными точками прямыми линиями, называется «полный граф». Граф, находящийся внутри этого множества линий, например красный или синий треугольник из вышеописанного примера, носит название «подграфа». Задачи в теории Рамсея обычно формулируются в виде вопросов типа: каково должно быть минимальное количество точек, чтобы образованный ими полный граф, случайным образом нарисованный красным или синим карандашами, содержал либо красный треугольник, либо синий четырехугольник?
Такие задачи на удивление трудно поддаются решению. Если в задачке про обед изменить условие и вместо трех сделать пятерых друзей или пятерых незнакомцев, то решить ее станет невозможно. Ответ можно будет выразить как R (5,5) — минимальное число гостей, необходимое, чтобы среди них оказалось либо пятеро друзей, либо пятеро человек, незнакомых друг с другом, но что это за число — никто не знает. Максимально близко к ответу ученые подошли, когда определили, что это R (5,5) находится где-то между 43 и 49. Венгерский математик Пал Эрдёш (1913–1996) однажды написал: «Представим себе, что некая инопланетная армия, куда более могущественная, чем наша, прилетит на Землю и потребует сообщить им точное значение R (5,5), а в противном случае пригрозит уничтожить нашу планету. Чтобы найти это значение, нам потребуется привлечь все имеющиеся компьютеры и математиков. А случись инопланетянам, допустим, потребовать значение R (6,6) — проще будет сразу попытаться уничтожить пришельцев».