Веревка вокруг Земли и другие сюрпризы науки
Шрифт:
Хотя считается, что математиков во всем интересует точность, иногда они согласны и на меньшее. Знать, что значение R (5,5) лежит между 43 и 39, почти так же хорошо, как, скажем, установить, что оно равняется 46. (Если вдруг впоследствии окажется, что это правильный ответ, обязательно потребую признать себя автором великого открытия!) Но в одной конкретной рамсеевской задаче эта терпимость к неточностям приводит к смехотворным результатам.
Наряду с подграфами, которые содержатся в полных графах, нарисованных на плоскости (как в вышеописанных примерах), теория Рамсея может задаваться вопросами касательно подграфов, находящихся в трехмерных полных графах. Например, нарисуйте восемь точек на плоскостях близ угла куба и соедините их все между собой — вы получите множество линий, среди которых будут попадаться разнообразные более простые фигуры. Теперь можно задавать вопросы касательно
Для математиков, занимающихся теорией Рамсея, двух- и трехмерные фигуры — детский сад. Рамсеевская задача с самым неточным в мире ответом имеет дело с полными графами более высоких измерений. Обрисую вопрос в общих чертах, даже не пытаясь объяснить его. (Вам нужно только знать, что гиперкуб — это существующий в многомерном пространстве эквивалент двухмерного квадрата или трехмерного куба.) Итак, задача: каково минимальное количество измерений гиперкуба, чтобы получился полный граф с четырьмя точками, лежащими в одной плоскости, — при условии, что все линии, соединяющие все пары углов, двухцветные?
Еще никому не удалось ответить на этот вопрос, однако американский математик Рональд Льюис Грэм (р. 1935) нашел верхнюю границу ответа. Как 49 для R (5,5), верхняя граница — это число, для которого вы можете доказать, что оно больше правильного ответа либо равно ему.
Грэмовская верхняя граница являет собой столь огромное число, что для его записи потребовалась бы особая система счисления. И запись даже в такой системе счисления оказалась бы слишком длинной, чтобы включать ее в книгу. Достаточно лишь сказать следующее: число это столь огромно, что, если бы вся материя во Вселенной превратилась в перья и чернила, ее все равно не хватило бы, чтобы записать полученное значение в десятичной системе счисления.
И вот что самое забавное во всей этой истории: как было недавно подсчитано, правильный ответ может оказаться совсем не таким уж внушительным. Например, он вполне может равняться 11.
Зачастую, пользуясь компьютерами, мы не задумываемся о принципах их работы, так же как, крутя баранку, предпочитаем не вникать в процессы, происходящие под капотом. На такие показатели, как скорость обработки информации или размеры памяти, мы если и обращаем внимание, то лишь при покупке нового компьютера, но редко отдаем себе отчет, какого уровня развития достигли технологии, ставшие столь привычной частью современного мира.
Лучшую иллюстрацию тех небывалых свершений, на которые способны компьютеры, я вижу всякий раз, как набираю в поисковой системе «Гугл» очередное слово или фразу. Например, напечатав по-английски слово «type» («печатать, печать, шрифт»), я всего за 0,16 секунды (это время отображается на экране) получаю первую страницу списка из приблизительно 2 780 000 000 страниц интернет-сайтов, где встречается это слово. Информация о почти трех миллиардах страниц найдена менее чем за пятую долю секунды. Если вы наберете «movable type» («шрифт из подвижных литер»), всего через 0,2 секунды вам сообщат, что существует около 15 100 000 страниц, содержащих это словосочетание. А если набрать «the phrase “movable type”» («словосочетание “шрифт из подвижных литер”»), через 0,08 секунды придет ответ, что страниц с этой фразой найдено ровно восемь. Точнее, найдено восемь разных страниц, поскольку «Гугл» указывает, что если учитывать копии этих восьми страниц, то общее их число достигнет сорока.
Как же это происходит? Неужели где-то стоит компьютер, который по моему запросу считывает все содержимое Интернета и за долю секунды выбирает из него нужные мне страницы?
Вообще-то, нет. «Гугл» действует гораздо умнее, хотя и не менее поразительно. Он постоянно, по мере создания новых интернет-сайтов, собирает их и добавляет в свою базу данных. Всякий раз, запрашивая ту или иную страницу, он создает список всех слов на этой странице и добавляет эти слова в алфавитный указатель, присвоив каждому слову уникальный адрес, в котором помечена страница, где находится слово. То есть, проще говоря, слово «type» в этом указателе закреплено за 2 780 000 000 или около того страниц. Список этих страниц существовал еще до того, как вы вбили запрос в строку поисковика, так что 0,16 секунды — это время, которое требуется компьютеру, чтобы сообщить вам то, что он и так уже «знал». Выше в этом алфавитном указателе будет и слово «movable» с примерно 25 миллионами
Люди с избытком свободного времени придумали целую игру с использованием поисковой системы «Гугл» — «гугл-вэкинг» [24] . Цель игры — найти комбинацию из двух слов, которая встречается в громадном архиве «Гугла» всего на одной странице. Найдя такую комбинацию, гугл-вэкеры сообщают о своем открытии на специальном гугл-вэкерском сайте. «Но в таком случае эта комбинация слов сразу перестанет быть уникальной, — возразите вы. — Ведь теперь она встречается уже на двух сайтах — изначальном и гугл-вэкерском». Однако «Гугл» милостиво исключил сайт гугл-вэкеров из своего поискового процесса, так что парадокса удалось избежать.
24
Googlewhacking (англ. компьютерный сленг). Перевести на русский язык это словечко весьма сложно, чаще всего используют оборот «Гугл-помешательство" или транслитерацию «гугл-вэкин" (Прим. ред.).
Многим из нас не так-то просто свыкнуться с понятием бесконечности и особенно с мыслью о том, что бесконечности бывают разных размеров. Но факт остается фактом: математики имеют дело с бесконечностями нескольких размеров, каждая из которых «бесконечно» больше, чем предыдущая. Многим «бесконечность» представляется в виде числа, к которому стремишься, когда считаешь от единицы и дальше, — и так вечно. В таком ракурсе идея о существовании чисел, превышающих эту бесконечность, кажется абсурдной (разве что считать придется больше, чем вечно). Пытаясь продемонстрировать, что такие числа все-таки есть, математики использовали так называемую биекцию, то есть взаимно-однозначное соответствие.
Предположим, вы выстроили все числа в ряд (1,2,3…) и так до «бесконечности» (в дальнейшем я не буду пользоваться кавычками, но имейте в виду: даже если из моих слов покажется, что бесконечность являет собой некое конкретное число, на самом деле это не так). Если бы у вас был другой ряд чисел, скажем дробей, и вы бы могли соотнести эти два ряда так, чтобы каждому числу соответствовала парная ему дробь, а у каждой дроби была пара в виде целого числа, и так до бесконечности, то можно было бы сказать, что оба ряда содержат одинаковое количество чисел, следовательно, их бесконечности равны.
И напротив, если бы у вас был ряд чисел, которые нельзя попарно соотнести с целыми числами так, чтобы не осталось неохваченных, лишенных пары чисел, вы могли бы сказать, что бесконечность данного ряда чисел больше бесконечности целых чисел.
Рассмотрим для начала дроби. На первый взгляд не похоже, чтобы дробей существовало столько же, сколько целых чисел, а не больше. Ведь между каждыми двумя соседними целыми числами — скажем, 1 и 2 — окажется куча дробей: 3/2, 4/3, 6/5 и т. п. Но если можно расставить все дроби в единственно возможном порядке, создав из них бесконечно долгую последовательность, то что мешает, к примеру, поставить целое число 817 в пару к дроби с 817-м порядковым номером в списке дробей? Итак, у каждой дроби окажется единственно возможное парное ей целое число, и наоборот. (Причем целые числа окажутся и в списке дробей, ведь 4 можно выразить как 4/1.)