Вся физика в 15 уравнениях

Мансулье Бруно

E pur, si muove^[6]!

Поскольку все это я осознал спустя довольно длительное время, после того как впервые встретился с законом тяготения Ньютона, было бы нечестным притворяться, что этот закон мне никогда не нравился из-за не по годам развитой интуиции. Тогда почему? Возможно, потому, что когда закон тяготения преподают в школе, его уравнение оказывается просто бесполезным, так как школьники практически не в состоянии использовать его! Я имею в виду действительно использование с теми самыми целями, для которых он был применен Ньютоном и его последователями: предсказывать движение планет, хотя бы нашей старой доброй Земли.

Проблема выглядит простой. Нам доступны два инструмента: с одной стороны, второй закон Ньютона F = ma,

с другой — закон обратных квадратов для силы, действующей между планетой и Солнцем. Гравитационная сила, с которой Солнце и Земля притягиваются друг к другу, равна:

Именно эта сила и влияет на планеты, заставляя их совершать круговое равноускоренное движение в соответствии со вторым законом Ньютона. Движение Земли в системе, состоящей только из Солнца и Земли, подчиняется уравнению:

Здесь y — ускорение Земли с учетом его направления, а d — расстояние от Земли до Солнца. Решение этого уравнения позволяет определить параметры движения Земли, форму ее орбиты и скорость в каждый момент времени, интервалы времени, когда Земля приближается или отдаляется от Солнца.

Все это, конечно, замечательно. Вот только решение данного уравнения отнюдь не так просто и требует более сложных математических инструментов, чем те, которые преподаются в старших классах школы. Поэтому в школе применение закона тяготения ограничивается упражнениями без особого практического смысла, например вычислением силы между двумя неподвижными объектами. Если предположить приближенно, что планеты движутся по круговым орбитам, решение может быть получено с помощью элементарной математики. Однако хорошо известно, что в действительности орбиты планет являются эллипсами, и, более того, в приближении круговых орбит вся сила закона пропадает впустую. Тогда уж проще предположить, что Земля связана с Солнцем веревочкой, и мы получим такое же круговое движение. Только позже, уже в университете, я узнал правильное решение такого простого на первый взгляд уравнения движения, позволяющее понять эллиптические траектории планет и комет. Как оказалось, и это знание не улучшило моего отношения к закону тяготения.

Космический хаос

Решение задачи о математическом описании движения одной планеты вокруг Солнца, известное как задача двух тел, стало одним из основополагающих столпов механики, но лично для меня оно уже не кажется чем-то особенным. В противоположность этому изучение движения всех планет Солнечной системы с учетом их взаимного тяготения и влияния друг на друга поставило передо мной новые неожиданные задачи. Некоторые планеты, такие как Земля, основное гравитационное влияние испытывают от Солнца, которое вызывает периодическое движение по эллиптической орбите: под этим единым воздействием орбита никогда не изменится, и каждый год Земля будет возвращаться точно в ту же точку — при условии что массы Солнца и Земли не изменятся. Это верно практически для всех планет, что движутся вдоль своих эллиптических орбит в течение вечности.

Однако планеты способны также оказывать некоторое гравитационное влияние и друг на друга. Вращение планет по своим орбитам с разными скоростями приводит к тому, что расстояния между планетами достаточно быстро изменяются, и возникающие в моменты сближения взаимные притяжения вызывают некоторые, достаточно малые, возмущения их траекторий. Вопрос в том, могут ли эти возмущения, накапливаясь с течением времени, существенно изменить базовые эллиптические траектории? Если да, то через какой промежуток времени? И останется ли возмущенное движение все еще периодическим? Или, по крайней мере, достаточно периодическим, чтобы движение планеты можно было предсказать в долгосрочной перспективе?

Вопрос, оказывается, настолько деликатный, что с тех пор как эта проблема была сформулирована Лагранжем в 1766 г., ответ на него несколько раз изменялся. Не углубляясь в математические подробности и проигнорировав двухвековую историю исследований, сейчас мы можем быть полностью уверены в том, что предсказание траекторий

движения планет Солнечной системы на сколь угодно длительных интервалах невозможно из-за накапливающихся «хаотических» возмущений. В математическом исследовании французского математика и астронома Жака Ласкара (1989) было показано, что невозможно предсказать орбиты планет, а тем более положение планет на их орбитах на интервалах времени, превышающих несколько десятков миллионов лет. И это несмотря на то, что единственными действующими силами в Солнечной системе являются силы тяготения между Солнцем и планетами и взаимные силы тяготения между планетами, и все эти силы взаимного притяжения совершенно не меняются во времени и не испытывают случайных возмущений^[7].

Когда мы решаем уравнения движения и пытаемся рассчитать состояние Солнечной системы, заглянув на 100 млн лет в будущее, решения становятся бесконечно чувствительными к начальным условиям, а именно к измеренным сегодня исходным положениям и скоростям движения планет. И что еще хуже: нет никакой возможности убрать эту чувствительность к начальным условиям — проблема «глубокого» расчета эволюции Солнечной системы выглядит как непробиваемая стена. Согласно расчетам Ласкара, неопределенность исходных координат Земли, равная 15 м, вызывает неопределенность, равную 150 м, в прогнозируемом положении через 10 млн лет, и это вполне приемлемо. Однако уже через 100 млн лет неопределенность в расчете прогнозных координат составит 150 млн км! Другими словами, мы не можем осмысленно точно предсказать положение Земли на ее орбите на дату, выбранную наперед^[8]. Это быстрое увеличение неопределенности с увеличением глубины расчета делает иллюзорной надежду на то, что расчет положения во время, заданное наперед, возможен при достаточной точности измерения начальных координат.

Планетарная игра в бильярд

Хочется даже задать вопрос о глобальной стабильности Солнечной системы: раз нет возможности предсказать долгосрочное положение каждой планеты, можем ли мы хотя бы быть уверены в том, что орбиты в будущем останутся примерно одинаковыми? Нынешние орбиты эллиптические, практически круговые (выражаясь математически строго, их «эксцентриситет» мал), и, учитывая большие различия между их средними радиусами, ясно, что они не пересекаются. Но как насчет долгосрочной перспективы? Возможно ли, чтобы орбиты изменились достаточно сильно и пересеклись и, следовательно, возникла ненулевая вероятность столкновения? Может ли случиться так, что одна планета пройдет настолько близко, что другая покинет Солнечную систему? Короче говоря, может ли наша обычная мирная карусель планет превратиться в страшный планетарный бильярд с ударами и отскоками?

Последние оценки будущих событий, выполненные в результате численных расчетов на суперкомпьютерах на несколько миллиардов лет вперед, показывают, что такая возможность существует, хотя и довольно призрачная — вероятность подобной катастрофы за миллиарды лет не превышает 1 %.

Как я уже говорил выше, ответ на вопрос о стабильности Солнечной системы уже несколько раз изменялся между «порядком» и «беспорядком». Хаос, описанный в работе Ласкара, — это тот ответ, который дает нам современная наука. Могут ли существовать другие, еще не учтенные явления, управляющие движением планет? Это действительно живые и наболевшие вопросы, так как «хаотические» движения такого типа также существуют во многих других физических системах, которые гораздо более интересны, чем решение уравнения движения для одинокой планеты…

Глава 5

Уравнение состояния идеального газа ^[9]

PV=VRT

И снова перед нами очень простое уравнение, которое описывает зависимость давления от температуры, или уравнение состояния многих распространенных газов, включая окружающий воздух, при условии что они еще «недостаточно плотные». Этот закон очень важен сам по себе, так как позволяет понять такое важное природное явление, как изменение атмосферного давления с высотой. Уравнение состояния идеального газа при применении в научных лабораториях и промышленности раскрывает путь к точным расчетам и управлению газовыми средами: воздухом, паром и т. д.