Вся физика в 15 уравнениях
Шрифт:
Какие граничные условия эти простые соотношения накладывают на наш способ видения мира? Можем ли мы на самом деле осознавать нелинейность и сложность? Конечно, средства массовой информации не помогают освободиться от линейного мышления: они любят представлять всю экономику и даже жизнь в целом в процентах. От уровня безработицы до романтических встреч, от потребления газировки до чтения книг, действительно ли проценты отражают реальность?
Глава 7
Уравнение Навье-Стокса
Сэстетической
Казалось бы, это уравнение «теоретическое» и позволяет прикоснуться к глубинным основам мироздания, однако в действительности оно все еще считается «описательным», в основном сводящимся к адаптации закона Ньютона F = ma для жидкостей[16]. Классическая механика Ньютона описывает движение твердых объектов, не меняющих свою форму, таких как планеты, или траекторию идеальных пушечных ядер без учета сопротивления воздуха. В этом случае предполагается, что объект испытывает действие сосредоточенных сил, изменяющих его движение.
Но как законы механики можно применить к жидкости, которая является непрерывной и подвижной средой в каждой своей мельчайшей части? Все элементы жидкости постоянно взаимодействуют и оказывают давление друг на друга, внешние силы передаются давлением или через контакт, и силы в жидкости действуют в любой точке, занятой ей. Для описания поведения подвижной и связной среды представляется необходимым получить сведения о ней во всех ее точках одновременно, вводя в описание скорость в каждой точке и все силы, действующие в этих точках.
Физики на поле битвы…[17]
Если какая-либо физическая величина может быть осмысленно приписана некоторому непрерывному в пространстве множеству точек, то определенная таким способом величина на языке физиков называется «полем»; итак, мы говорим о полях скоростей, сил и т. д. Уравнение «механики жидкости», подобное приведенному выше, выражает тот же самый закон Ньютона F = ma, но только для полей скоростей и сил в объеме, занятом жидкостью. С фундаментальной точки зрения в уравнении Навье-Стокса нет ничего более нового, ничего бoльшего, чем F = ma. Однако на практике это было важным шагом, поскольку живая материя непрерывна. Газы и жидкости, которые передают энергию машин, воздух, который поддерживает самолеты, вода, которая сопротивляется движению кораблей, — все эти среды нельзя представить в виде конечного числа недеформируемых точечных объектов, таких как артиллерийские снаряды или планеты. Чтобы описать поведение жидкостей и газов, нам нужно знать, как применить закон Ньютона к непрерывному набору материальных точек.
Вот почему у меня есть неоднозначное чувство к этому уравнению (и его двоюродным братьям): мне больше всего нравятся уравнения, которые меняют фундаментальные основы описания природы, но здесь это не так. Несмотря на его впечатляющий внешний вид, все его греческие буквы и эзотерический оператор «набла», лежащая в
Мы видим, что в этом описании непрерывной материи начинают появляться «поля»: уравнения механики описывают уже не движение материальных точек, а изменение физических полей. Понятие «поле» окажется невероятно плодотворным во всех областях физики: поле температур, электрическое и магнитное поля, поле вероятности, и, в конце концов, возникнет квантовая теория поля, где поле и частица станут единым целым.
Уравнение, которое трудно покорить…
Исторически эволюция «механики подвижных сред», или гидродинамики, происходила практически одновременно с эволюцией термодинамики, начинаясь с уравнений для простейших частных случаев, а затем переходя ко все более и более обобщенному описанию физических законов. При этом с каждым разом измерения физических свойств самих жидкостей (плотность, вязкость) становились точнее, и разрабатывались приложения общей теории ко все более разнообразным системам от течения потоков воды по пожарным рукавам до самолетных крыльев.
Даже удивительно, что уравнения Навье-Стокса имеют так много практических приложений, несмотря на то что сами эти уравнения очень плохо поддаются решению! Без компьютера, располагая только бумагой и ручкой и используя самые примитивные математические методы, оказалось возможным найти решения лишь для самых простых, идеализированных случаев, которые весьма далеки от реальности. Поток воды, несущийся вниз с горы, действительно подчиняется уравнению, но очевидно, что вряд ли возможно более или менее подробно описать все завихрения этого потока на одной странице блокнота или даже на многих страницах… Но это еще не самое плохое. Гораздо хуже то, что математики пока не ответили на вопрос, всегда ли уравнения Навье-Стокса имеют единственное решение[18]? И даже если это решение существует и является единственным, будет ли решение, найденное для изначально «спокойной» жидкости, правильно описывать ее долгосрочную эволюцию? Или моделируемое поведение станет совершенно непредсказуемым? Таким образом, еще до появления компьютеров физики и инженеры упорно трудились над поиском приближений, которые позволили бы рассчитывать реальные практические случаи и создавать сложные машины. Инженеры XIX и первой половины XX в. творили чудеса в проектировании кораблей, самолетов и даже ракет, но они должны были закладывать в свои конструкции большой запас прочности, а также испытывать небольшие модели в лабораториях. В противоположность сегодняшней практике многие простейшие объекты для повседневного использования были разработаны эмпирически, безо всяких расчетов.
От фанерных моделек до суперкомпьютеров
Когда я еще был ребенком, отец рассказывал мне о бассейнах для тестирования моделей кораблей — это была работа мечты в представлении маленького мальчика: я воображал себе серьезных инженеров, которые проводили долгие дни, запуская чудесные модели кораблей в красивом бассейне… Реальность оказалась менее живописной и более технической. Компьютеры, а точнее развитие численных методов, произвели революцию в этой области. При использовании численных вычислений никто больше не пытается решить уравнение с помощью формул «на бумаге». Создается модель вязкой среды, разделенной на небольшие объемы, как будто это пиксели в трехмерном пространстве. Начиная с известных заранее начальных условий, заданных скоростями жидкости в каждом «пикселе», мы рассчитываем ее эволюцию для следующего момента времени с небольшим шагом, проверяя, что уравнение с некоторой точностью выполняется для этого небольшого шага. И таким образом мы повторяем процесс много раз подряд.