Введение в логику и научный метод
Шрифт:
Таким образом, доказательство Птолемея неудовлетворительно, и более тщательный анализ его рассуждения смог бы продемонстрировать ему, что это именно так. На самом деле мы знаем, что нельзя показать, что пятый постулат является необходимым следствием остальных постулатов, поскольку можно доказать, что он является независимым от остальных постулатов. Метод доказательства независимости разобран в главе VIII. На данном же этапе читателю следует обратить внимание на то, что строгое разложение аргумента на ряд шагов позволяет обнаружить все допущения, требующиеся для того, чтобы доказательство было обоснованным. Признание делаемых нами допущений и готовность исследовать все их возможные
2. Вторым примером значимого в историческом смысле «доказательства» является попытка доказать одно важное суждение в элементарной алгебре. Без сомнения, читатель знаком с правилом, согласно которому произведение двух отрицательных чисел всегда является положительным. Так, (-3) x (-4) = (+ 12). Можно ли доказать данное суждение? Разумеется, доказательство будет возможным, только если другие суждения будут приняты в качестве посылок. Оказывается, что алгебра тоже может разрабатываться систематически на основании аксиом, относящихся к сложению и умножению количеств. Поэтому наш вопрос должен быть сформулирован следующим образом: можно ли доказать, что суждение о том, что произведение двух отрицательных чисел является положительным, является логическим следствием допущений, относящихся к сложению и умножению только положительных чисел?
К сожалению, систематический анализ алгебры является крайне абстрактным, и его понимание требует существенной интеллектуальной зрелости,
поэтому новичкам данный материал излагается просто в виде набора некоторых правил. Однако иногда осуществляются попытки приведения доказательств и для важных правил, и следующий аргумент зачастую приводится для обоснования суждения о произведении двух отрицательных чисел. Данный аргумент нацелен на то, чтобы показать, что правило умножения отрицательных чисел является необходимым следствием правил умножения и сложения положительных чисел.
Приведенный выше четырехугольник имеет стороны а и Ь соответственно. Его площадь, согласно теореме планиметрии, равна ab. Площадь меньшего незаштрихованного прямоугольника со сторонами, равными (а – с) и (Ь – d) соответственно, равна (а – с)(Ь – d). Теперь выразим эту последнюю площадь в терминах большего прямоугольника и меньших заштрихованных прямоугольников. Анализ данной фигуры показывает, что площадь незаштрихованной фигуры может быть получена сначала путем вычитания из большого прямоугольника прямоугольника, который заштрихован вертикально (его площадь равна Ьс), а также горизонтально заштрихованного прямоугольника (его площадь равна ad), а затем путем прибавления прямоугольника, заштрихованного обоими способами (его площадь равна cd). Таким образом, мы можем записать уравнение 1:
(а – с)(Ь – d) = ab – be – ad + cd.
Далее припишем а и Ь значение нуль. Тогда мы получим уравнение 2:
(0 – с)(0 – d) = 0 x 0 – 0 x с – 0 x d + cd;
или уравнение 3:
(-c)(-d) = (+cd).
В общем, заключением доказательства является положительное произведение двух отрицательных величин.
Является ли данное доказательство обоснованным? Читатель с легкостью увидит, что не является, поскольку уравнение 1 было развито на основе предположения, что а и Ь не равны нулю. Мы не можем получить уравнение 3 из уравнения 1, если не введем дополнительное
На самом деле мы знаем, что правила оперирования отрицательных чисел независимы от правил оперирования положительных чисел. В очередной раз становится очевидной ценность разложения аргумента на составляющие его шаги. Точно так же как изучение допущений, требующихся для доказательства пятого постулата Евклида, привели Лобачевского и Больяя к открытию неевклидовых геометрий, так и исследование основополагающих правил алгебры привели сэра Уильяма Р. Гамильтона и Г. Г. Грассмана к открытию различных алгебраических систем. Без неевклидовых геометрий вряд ли было бы возможно развитие более сложной общей алгебры и современной физики. Важно отметить, что метод, требующий проявления всех требующихся для доказательства допущений, а также беспристрастные исследования всех альтернатив подобных допущений имеют далеко идущие следствия. Наилучший способ прояснить значимость логического метода для цивилизации – это задуматься о том, какую роль он сыграл в истории развития науки.
Упражнения
Глава I. Предмет логики
1. Что из перечисленного ниже мы знаем непосредственно, а что с опорой на основания?
a. Существует центр Земли.
b. Существует король Италии.
c. Мы обладаем легкими, с помощью которых дышим.
d. Существует бельгийская колония Конго.
e. Между Индией и Китаем существует страна, именуемая Тибетом.
2. На каких основаниях вы верите в то, что ваш дальний предок жил в 2000 году до н. э.? На каких основаниях базируется ваше верование о том, что на земле жили такие личности, как Вашингтон, Наполеон, король Артур, царь Давид, Гомер, Моисей?
3. Докажите, что 5 + 2 = 7. Сформулируйте все допущения, используемые вами при доказательстве. (См. Пуанкаре А. Основания науки.)
4. Что имеется в виду, когда утверждается, что логика является формальной дисциплиной?
5. Какие базовые допущения используются в следующем доказательстве: а2 – b2 = (а + Ь)(а – Ь)?
6. Сформулируйте суждение, необходимое для доказательства того, что:
a. Земля – круглая.
b. Она вращается вокруг оси, а также вокруг Солнца.
7. Каковы основания для утверждения о том, что, согласно действующей конституции, президент Соединенных Штатов может быть избран меньшинством голосов избирателей?
8. Являются ли обоснованными следующие аргументы:
a. Сан-Франциско находится к западу от Нью-Йорка.
Пекин находится к западу от Сан-Франциско.
Берлин находится к западу от Пекина.
Берлин находится к западу от Сан-Франциско.
b. А находится справа от В.
В находится справа от С.
А находится справа от С.
Является ли данный аргумент справедливым относительно людей, сидящих в кругу?
9. Являются ли приведенные ниже умозаключения обоснованными только лишь потому, что посылки и следствия в них являются истинными?
a. Рыбы живут в воде.
Обезьяны не рыбы.
Обезьяны не живут в воде.
b. Сравните с аргументом а:
Рыбы живут в воде.
Киты не рыбы.