Живая математика. Математические рассказы и головоломки

Перельман Яков Исидорович

Спрятав одну кость домино, мы можем поэтому заранее сказать, какие числа очков будут на концах цепи, составленной из прочих костей.

18. Сумма очков всех сторон искомого квадрата должна равняться 44 х 4 = 176, т. е. на 8 больше, чем сумма очков на косточках полного набора домино (168). Происходит это, конечно, оттого, что числа очков, занимающих вершины квадрата, считаются дважды. Сказанным определяется, какова должна быть сумма очков на вершинах квадрата: 8. Это несколько облегчает поиски требуемого расположения, хотя нахождение его все же довольно хлопотливо. Решение показано на рис. 21.

Рис. 21

19.

Приводим два решения этой задачи из числа многих возможных. В первом решении (рис. 22) имеем:

Во втором решении (рис. 23):

Рис. 22

Рис. 23

20. На рис. 24 дан образчик магического квадрата с суммою очков в ряду 18.

21. Вот в виде примера две прогрессии с разностью 2:

a) 0-0; 0-2; 0-4; 0-6; 4-4 (или 3-5); 5-5 (или 4-6).

b) 0-1; 0-3 (или 1-2); 0-5 (или 2-3); 1-6 (или 3-4); 3-6 (или 4-5); 5-6.

Рис. 24

Всего 6-косточковых прогрессий можно составить 23. Начальные косточки их следующие:

a) для прогрессий с разностью 1:

b) для прогрессий с разностью 2:

0-0 0-2 0-1

22. Расположение задачи может быть получено из начального положения следующими 44 ходами:

14, 11, 12, 8, 7, 6, 10, 12, 8, 7,

4, 3, 6, 4, 7, 14, И, 15, 13, 9,

12, 8, 4, 10, 8, 4, 14, 11, 15, 13,

9, 12, 4, 8, 5, 4, 8, 9, 13, 14,

10, 6, 2, 1.

23. Расположение задачи достигается следующими 39 ходами:

15, 14, 10, 6, 7, 11, 15, 10, 13, 9,

5, 1, 2, 3, 4, 8, 12, 15, 10, 13,

9, 5, 1, 2, 3, 4, 8, 12, 15, 14,

13, 9, 5, 1, 2, 3, 4, 8, 12.

24. Магический квадрат с суммою 30 получается после ряда ходов:

12, 8, 4, 3, 2, 6, 10, 9, 13, 15,

14, 12, 8, 4, 7, 10, 9, 14, 12, 8,

4, 7, 10, 9, 6, 2, 3, 10, 9, 6,

5, 1, 2, 3, 6, 5, 3, 2, 1, 13,

14, 3, 2, 1, 13, 14, 3, 12, 15, 3.

КРОКЕТ

Занимаясь головоломками, относящимися к домино и к игре «15», мы оставались в пределах арифметики. Переходя к головоломкам на крокетной площадке, мы вступаем отчасти в область геометрии.

25. Даже опытный игрок скажет, вероятно, что при указанных условиях пройти ворота легче, чем крокировать: ведь ворота вдвое шире шара. Однако такое представление ошибочно: ворота, конечно, шире, нежели шар, но свободный проход для шара через ворота вдвое уже, чем мишень для крокировки.

Взгляните на рис. 2, 5, и сказанное станет вам ясно. Центр шара не должен приближаться к проволоке

ворот меньше чем на величину радиуса, иначе шар заденет проволоку. Значит, для центра шара останется мишень на два радиуса меньше ширины ворот. Легко видеть, что в условиях нашей задачи ширина мишени при прохождении ворот с наилучшей позиции равна диаметру шара.

Рис. 25

Рис. 26

Посмотрим теперь, как велика ширина мишени для центра движущегося шара при крокировке. Очевидно, что, если центр крокирующего приблизится к центру крокируемого меньше чем на радиус шара, удар обеспечен. Значит, ширина мишени в этом случае, как видно из рис. 26, равна двум диаметрам шара.

Итак, вопреки мнению игроков, при данных условиях вдвое легче попасть в шар, нежели свободно пройти ворота с самой лучшей позиции.

26. После сейчас сказанного эта задача не требует долгих разъяснений. Легко видеть (рис. 27), что ширина цели при крокировке равна двум диаметрам шара, т. е. 20 см; ширина же мишени при нацеливании в столбик равна сумме диаметра шара и столбика, т. е. 16 см (рис. 28). Значит, крокировать легче, чем заколоться в

20: 16 = 1¹/₄ раза,

всего на 25 %.

Рис. 27

Рис. 28

Игроки же обычно сильно преувеличивают шансы крокировки по сравнению с попаданием в столбик.

27. Иной игрок рассудит так: раз ворота вдвое шире, чем шар, а столбик вдвое уже шара, то для свободного прохода ворот мишень вчетверо шире, чем для попадания в столбик.

Рис. 29

Рис. 30

Наученный предыдущими задачами, читатель наш подобной ошибки не сделает. Он сообразит, что для прицела в столбик мишень в 1¹/₂ раза шире, чем для прохода ворот с наилучшей позиции. Это ясно из рассмотрения рис. 29 и 30.

(Если бы ворота были не прямоугольные, а выгнутые дугой, проход для шара был бы еще уже - как легко сообразить из рассмотрения рис. 31.)

28. Из рис. 32 и 33 видно, что промежуток а, остающийся для прохода центра шара, довольно тесен при указанных в задаче условиях.

Рис. 31

Рис. 32

Знакомые с геометрией знают, что сторона (АВ) квадрата меньше его диагонали (АС) приблизительно в 1,4 раза. Если ширина ворот 3 d (где d– диаметр шара), то АВ равно: