Живая математика. Математические рассказы и головоломки

Перельман Яков Исидорович

Собственно, задача уже почти решена. Остается только найти, за сколько времени первая машинистка выполнит свои ³/₅ работы. Всю работу она может сделать, мы знаем, за 2 часа; значит, ³/₅ работы будет выполнено за 2 х ³/₅ = 1¹/ ₅ часа. За такое же время должна сделать свою долю работы и вторая машинистка.

Итак, кратчайший срок, в какой

может быть переписан доклад обеими машинистками, - 1 час 12 мин.

37. Если вы думаете, что шестеренка обернется три раза, то ошибаетесь: она сделает не три, а четыре оборота.

Чтобы наглядно уяснить себе, в чем тут дело, положите перед собою на гладком листе бумаги две одинаковые монеты, например два двугривенных, так, как показано на рис. 36. Придерживая рукой нижнюю монету, катите по ее ободу верхнюю. Вы заметите неожиданную вещь: когда верхняя монета обойдет нижнюю наполовину и окажется внизу, она успеет сделать уже полный оборот вокруг своей оси; это будет видно по положению цифр на монете.

Рис. 36

А обходя неподвижную монету кругом, монета наша успеет обернуться не один, а два раза. Вообще, когда тело, вертясь, движется по кругу, оно делает одним оборотом больше, чем можно насчитать непосредственно. По той же причине и наш земной шар, обходя вокруг Солнца, успевает обернуться вокруг своей оси не 365 с четвертью, а 366 с четвертью раз, если считать обороты не по отношению к Солнцу, а по отношению к звездам. Вы понимаете теперь, почему звездные сутки короче солнечных.

38. Через трижды три года загадчик будет на 9 лет старше, чем теперь. Трижды три года назад он был на 9 лет моложе, чем теперь. Разница лет, следовательно, составляет 9 + 9, т. е. 18 лет. Это и есть возраст загадчика, согласно условию задачи.

Несложно решается задача и в том случае, если, обратившись к услугам алгебры, составить уравнение. Искомое число лет обозначим буквой х. Возраст спустя три года надо тогда обозначить через х + 3, возраст три года назад - через х-3. Имеем уравнение

3(х + 3) - 3(х - 3) = х,

решив которое получаем х = 18. Любителю головоломок теперь 18 лет. Проверим: через три года ему будет 21 год; три года назад ему было 15 лет. Разность

Зх 21 - Зх 15 = 63 - 45 = 18,

т. е. равна нынешнему возрасту любителя головоломок.

39. Как и предыдущая, задача решается с помощью несложного уравнения. Если жене теперь х лет, то мужу 2х. Восемнадцать лет назад каждому из них было на 18 лет меньше: мужу 2х - 18, жене х– 18. При этом известно, что муж был тогда втрое старше жены:

3(х– 18) = 2х - 18.

Решив это уравнение, получаем х = 36: жене теперь 36 лет, мужу 72.

40… Пусть в начале игры у каждого было х копеек. После первого кона у одного игрока стало х+20, у другого х-20. После второго

кона прежде выигравший партнер потерял ²/₃ своих денег; следовательно, у него осталось

Другой партнер, имевший х - 20, получил ²/₃ (х + 20); следовательно, у него оказалось

Так как известно, что у первого игрока оказалось вчетверо меньше денег, чем у другого, то

откуда х = 100. У каждого игрока было в начале игры по одному рублю.

41. Обозначим первоначальное число отдельных рублей через х, а число двадцатикопеечных монет через у. Тогда, отправляясь за покупками, я имел в кошельке денег

100х + 20у коп.

Возвратившись, я имел

100у + 20х коп.

Последняя сумма, мы знаем, втрое меньше первой; следовательно,

3(100у + 20х) = ЮСЬс + 20у.

Упрощая это выражение, получаем

% = 7у.

Если у = 1, то х = 7. При таком допущении у меня первоначально будет денег 7 руб. 20 коп.; это не вяжется с условием задачи («около 15 рублей»).

Испытаем у = 2, тогда х = 14. Первоначальная сумма равнялась 14 руб. 40 коп., что хорошо согласуется с условием задачи.

Допущение у = 3 дает слишком большую сумму денег:

21 руб. 60 коп.

Следовательно, единственный подходящий ответ -

14 руб. 40 коп. После покупок осталось 2 отдельных рубля и 14 двугривенных, т. е. 200 + 280 = 480 коп.; это действительно составляет треть первоначальной суммы (1440: 3 = 480).

Израсходовано же было 1440 - 480 = 960. Значит, стоимость покупок 9 руб. 60 коп.

Глава четвертая УМЕЕТЕ ЛИ ВЫ СЧИТАТЬ?

Вопрос, пожалуй, даже обидный для человека старше трехлетнего возраста. Кто не умеет считать? Чтобы произносить подряд «один», «два», «три», особого искусства не требуется. И все же, я уверен, вы не всегда хорошо справляетесь с таким, казалось бы, простым делом. Все зависит от того, что считать. Нетрудно пересчитать гвозди в ящике. Но пусть в нем лежат не одни только гвозди, а вперемешку гвозди с винтами; требуется установить, сколько тех и других отдельно. Как вы тогда поступите? Разберете груду на гвозди и винты отдельно, а затем пересчитаете их?