Большая Советская Энциклопедия (МА)

Большая Советская Энциклопедия

А. И. Ширшов.

Математическая индукция

Математи'ческая инду'кция , весьма общий способ математических доказательств и определений. Индуктивные доказательства основаны на так называемом принципе М. и., являющемся одной из основных математических аксиом. Пусть, например, требуется доказать для любого натурального (целого положительного) числа n формулу:

1 + 3 + 5 + ... + (2n– 1) = n² (1)

При n = 1 эта формула даёт 1 = 1² . Чтобы доказать правильность формулы при любом n , допускают, что её уже удалось доказать для некоторого определённого числа N ,

то есть предполагают, что

1 + 3 + 5 + ... + (2N– 1) = N² . (2)

Далее, опираясь на сделанное допущение, пытаются доказать правильность формулы (1) для числа на единицу большего, то есть для n = N + 1. В данном случае достаточно присоединить к сумме в левой части равенства (2) ещё одно слагаемое: (2N + 1); тогда и правая часть равенства должна увеличиться на (2N +1) и, следовательно,

1 + 3 + 5 + ... + (2N — 1) + (2N + 1) = N² + (2N + 1) = (N + 1)² .

Но тот же результат получится, если в формуле (1) заменить n на N + 1.

Итак, из справедливости формулы (1) при n = N вытекает (каково бы ни было N ) её правильность и при n = N + 1. Но при n = 1 формула (1) верна, следовательно, она верна также и при n = 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 4 = 3 + 1, 5 = 4 + 1 и так далее. Так как последовательным прибавлением единицы можно получить (начиная с единицы) любое натуральное число, то формула (1) действительно верна при любом натуральном числе n . Как ни очевидна заключительная часть приведённого рассуждения, она опирается на некоторую аксиому, не сводимую только к общим законам логики, но выражающую одно из основных свойств натуральных чисел. Общая формулировка этой аксиомы такова.

Принцип М. и. Пусть: 1) число единица обладает свойством А ; 2) из того, что какое-либо натуральное число n обладает свойством А , вытекает, что и число n + 1 обладает свойством А . При таких условиях любое натуральное число обладает свойством А .

В разобранном выше примере свойство А числа n выражается так: «для числа n справедливо равенство (1)». Если принцип М. и. принят в качестве аксиомы, то каждое отдельное доказательство, опирающееся на этот принцип, следует рассматривать как чисто дедуктивное. При доказательстве [например, формулы (1)], основанном на этом принципе, не происходит заключения от частного к общему, так как одна из посылок (сам принцип М. и.) по меньшей мере столь же обща, как и заключение.

Принцип М. и., сформулированный выше, служит, как было показано, для доказательства математических теорем. Помимо этого, в математике употребляются ещё так называемые индуктивные определения. Таково, например, следующее определение членов u_n геометрической прогрессии с первым членом а и знаменателем q :

1) u₁ = a ,

2) u_n+1 = u_n q .

Условия 1) и 2) однозначно определяют члены прогрессии u_n для всех натуральных чисел n . Доказательство того, что это действительно так, может быть основано на принципе М. и.; в данном случае можно, однако, непосредственно получить выражение u_n через n :

u_n = aq^n-1 .

Принцип М. и. можно заменить равносильными ему

предложениями, например таким: если подмножество М множества всех натуральных чисел N содержит 1 и вместе с любым своим элементом m содержит и m + 1, то М = N .

Математическая картография

Математи'ческая картогра'фия , картографическая дисциплина, изучающая теорию картографических проекций , преобразований их, методы изыскания проекций и способы рационального применения их на практике. Иногда в М. к. включают весь комплекс вопросов, относящихся к математическому обоснованию карт (компоновка карт, расчёт рамок и др.), а также способы и средства измерений на картах (см. Картометрия ). М. к. тесно связана с математикой, геодезией, со всеми картографическими и другими дисциплинами. На первых этапах (6 век до н. э. — 17 век н. э.) развития М. к. изобретались, исследовались и использовались отдельные картографические проекции, затем (18 век — начало 20 века) изучались также отдельные классы проекций и другие совокупности их. С середины 20 века успешно развивается теория создания новых методов получения различных (зачастую новых) классов или групп проекций, а также теория преобразований их. Методы современной М. к. механизируются и автоматизируются, в частности используются ЭВМ для различных целей.

В М. к. различают прямую и обратную задачи. Прямая задача М. к. — исследование свойств картографических проекций, заданных уравнениями вида

x = f₁ (j, l), y = f₂ (j, l), (1)

где (j и l — широта и долгота точки на земном эллипсоиде . Эта задача решается формулами теории искажений. Обратная задача М. к. имеет целью восстановление уравнений (1), или, более обще, нахождение проекций по заданным в них распределениям искажений. В процессе исторического развития М. к. использовались различные методы построения проекций: геометрические, аналитические, графоаналитические и другие, применимые, однако, к получению отдельных проекций или довольно узких совокупностей их. Общий метод изыскания проекций, дающих в то же время решение обратной задачи М. к., следует из системы Эйлера — Урмаева

(2)

где m и n — масштабы по меридианам и параллелям, e — угол между их изображениями, g — сближение меридианов. Это — система двух квазилинейных уравнений с частными производными 1-го порядка (например,

 и т. п.). Она недоопределенная: уравнений — два, функций — четыре. Различные способы доопределения системы (2), выполняемые на основе априорного задания, нужного для практики размещения искажений, позволяют исследовать всевозможные классы проекций. С точки зрения анализа система (2) даёт необходимые и достаточные условия существования проекции с заданными в них распределениями искажений. Систему (2), формулы теории искажений и некоторые их модификации относят к основным уравнениям М. к. При изысканиях новых проекций широко применяют методы численного анализа, теорию конформных и квазиконформных отображений, вариационное исчисление и др.

Система (2) приводит к генетической классификации картографических проекций, являющейся наиболее полной из всех классификаций и объемлющей известные и все мыслимые проекции. В её основе лежит понятие класса проекций как такой совокупности их, которая [после доопределения системы (2) уравнениями проекций в характеристиках] описывается определённой системой двух дифференциальных уравнений с частными производными 1-го порядка; например, класс конформных проекций, класс проекций Эйлера и другие. Системы классов проекций могут быть эллиптических, гиперболических и других типов, в соответствии с чем и проекции, ими описываемые, относятся к указанным типам, что имеет фундаментальное значение при изыскании проекций конкретных классов, проявляющееся в априорном предсказании некоторых свойств новых проекций. Таким образом, М. к. — это своеобразный «арсенал» картографической науки и картографического производства, в специальных «рубриках» которого находятся определённые классы и другие совокупности картографических проекций. Для конкретного производственного задания оттуда может быть взята нужная проекция (или изыскана новая).