Большая Советская Энциклопедия (МА)

Большая Советская Энциклопедия

Четвёртый этап — последующий анализ модели в связи с накоплением данных об изучаемых явлениях и модернизация модели. В процессе развития науки и техники данные об изучаемых явлениях всё более и более уточняются и наступает момент, когда выводы, получаемые на основании существующей М. м., не соответствуют нашим знаниям о явлении. Т. о., возникает необходимость построения новой, более совершенной М. м.

Типичным примером, иллюстрирующим характерные этапы в построении М. м., является модель Солнечной системы. Наблюдения звёздного неба начались в глубокой древности. Первичный анализ этих наблюдений позволил выделить планеты из всего многообразия небесных светил. Таким образом, первым шагом было выделение объектов изучения. Вторым шагом явилось определение закономерностей их движений. (Вообще определения объектов и их взаимосвязей являются исходными положениями — «аксиомами» — гипотетической модели.) Модели Солнечной системы в процессе своего развития прошли через ряд последовательных усовершенствований. Первой была модель Птолемея (2

век н. э.), исходившая из положения, что планеты и Солнце совершают движения вокруг Земли (геоцентрическая модель), и описывавшая эти движения с помощью правил (формул), многократно усложнявшихся по накоплении наблюдений.

Развитие мореплавания поставило перед астрономией новые требования к точности наблюдений. Н. Коперником в 1543 была предложена принципиально новая основа законов движения планет, полагавшая, что планеты вращаются вокруг Солнца по окружностям (гелиоцентрическая система). Это была качественно новая (но не математическая) модель Солнечной системы. Однако не существовало параметров системы (радиусов окружностей и угловых скоростей движения), приводящих количеств, выводы теории в должное соответствие с наблюдениями, так что Коперник был вынужден вводить поправки в движения планет по окружностям (эпициклы).

Следующим шагом в развитии модели Солнечной системы были исследования И. Кеплера (начало 17 века), который сформулировал законы движения планет. Положения Коперника и Кеплера давали кинематическое описание движения каждой планеты обособленно, не затрагивая ещё причин, обусловливающих эти движения.

Принципиально новым шагом были работы И. Ньютона , предложившего во 2-й половине 17 века динамическую модель Солнечной системы, основанную на законе всемирного тяготения. Динамическая модель согласуется с кинематической моделью, предложенной Кеплером, так как из динамической системы двух тел «Солнце — планета» следуют законы Кеплера.

К 40-м годам 19 века выводы динамической модели, объектами которой были видимые планеты, вошли в противоречие с накопленными к тому времени наблюдениями. Именно, наблюдаемое движение Урана уклонялось от теоретически вычисляемого движения. У. Леверье в 1846 расширил систему наблюдаемых планет новой гипотетической планетой, названной им Нептуном, и, пользуясь новой моделью Солнечной системы, определил массу и закон движения новой планеты так, что в новой системе противоречие в движении Урана было снято. Планета Нептун была открыта в месте, указанном Леверье. Аналогичным методом, используя расхождения в теоретической и наблюдаемой траектории Нептуна, в 1930 была открыта планета Плутон.

Метод математического моделирования, сводящий исследование явлений внешнего мира к математическим задачам, занимает ведущее место среди других методов исследования, особенно в связи с появлением ЭВМ. Он позволяет проектировать новые технические средства, работающие в оптимальных режимах, для решения сложных задач науки и техники; проектировать новые явления. М. м. проявили себя как важное средство управления. Они применяются в самых различных областях знания, стали необходимым аппаратом в области экономического планирования и являются важным элементом автоматизированных систем управления.

А. Н. Тихонов.

Математическая статистика

Математи'ческая стати'стика , раздел математики, посвященный математическим методам систематизации, обработки и использования статистических данных для научных и практических выводов. При этом статистическими данными называются сведения о числе объектов в какой-либо более или менее обширной совокупности, обладающих теми или иными признаками (таковы, например, данные таблиц 1а и 2а).

Таблица 1а. — Распределение диаметра детали в мм , обнаруженное при статистическом исследовании массовой продукции (объяснение обозначений

, S , s см. в статье).

Диаметр	Основная выборка	1-я выборка	2-я выборка	3-я выборка
13,05—13,09	—	—	1	1
13,10—13,14	2	—	—	—
13,15—13,19	1	—	1	1
13,20—13,24	8	—	—	—
13,25—13,29	17	1	2	1
13,30—13,34	27	1	1	2
13,35—13,39	30	2	3	1
13,40—13,44	37	2	1	1
13,45—13,49	27	1	—	—
13,50—13,54	25	2	1	—
13,55—13,59	17	—	—	—
13,60—13,64	7	1	—	2
13,65—13,69	2	—	—	1
Всего	200	10	10	10
	13,416	13,430	13,315	13,385
S2	2,3910	0,0990	0,1472	0,3602
s	0,110	0,105	0,128	0,200

Таблица 1б. — Распределение диаметра детали основной выборки (из таблицы 1а) при более крупных интервалах группировки

Диаметр	Число деталей
13,00—13,24	11
13,25—13,49	138
13,50—13,74	51
Всего	200

Предмет и метод математической статистики. Статистическое описание совокупности объектов занимает промежуточное положение между индивидуальным описанием каждого из объектов совокупности, с одной стороны, и описанием совокупности по её общим свойствам, совсем не требующим её расчленения на отдельные объекты, — с другой. По сравнению с первым способом статистические данные всегда в большей или меньшей степени обезличены и имеют лишь ограниченную ценность в случаях, когда существенны именно индивидуальные данные (например, учитель, знакомясь с классом, получит лишь весьма предварительную ориентировку о положении дела из одной статистики числа выставленных его предшественником отличных, хороших, удовлетворительных и неудовлетворительных оценок). С другой стороны, по сравнению с данными о наблюдаемых извне суммарных свойствах совокупности статистические данные позволяют глубже проникнуть в существо дела. Например, данные гранулометрического анализа породы (то есть данные о распределении образующих породу частиц по размерам) дают ценную дополнительную информацию по сравнению с испытанием нерасчленённых образцов породы, позволяя в некоторой мере объяснить свойства породы, условия её образования и прочее.

Метод исследования, опирающийся на рассмотрение статистических данных о тех или иных совокупностях объектов, называется статистическим. Статистический метод применяется в самых различных областях знания. Однако черты статистического метода в применении к объектам различной природы столь своеобразны, что было бы бессмысленно объединять, например, социально-экономическую статистику , физическую статистику (см. Статистическая физика ), звёздную статистику и тому подобное в одну науку.

Общие черты статистического метода в различных областях знания сводятся к подсчёту числа объектов, входящих в те или иные группы, рассмотрению распределения количеств, признаков, применению выборочного метода (в случаях, когда детальное исследование всех объектов обширной совокупности затруднительно), использованию теории вероятностей при оценке достаточности числа наблюдений для тех или иных выводов и т. п. Эта формальная математическая сторона статистических методов исследования, безразличная к специфической природе изучаемых объектов, и составляет предмет М. с.