Большая Советская Энциклопедия (ВЕ)
Шрифт:
здесь Cnm обозначает число сочетаний из n элементов по m (см. Биномиальное распределение ). При больших n вычисления по формуле (4) становятся затруднительными. Пусть в предыдущем примере число выстрелов равно 100, и ставится вопрос об отыскании вероятности х того, что число попаданий лежит в пределах от 8 до 32. Применение формулы (4) и теоремы сложения даёт точное, но практически мало пригодное выражение искомой вероятности
Приближённое значение вероятности х можно найти по теореме Лапласа (см. Лапласа теорема )
причём ошибка не превосходит 0,0009. Найденный результат показывает, что событие 8 lb m lb 32
К числу основных формул элементарной В. т. относится также так называемая формула полной вероятности: если события A1 , A2 ,..., Ar попарно несовместны и их объединение есть достоверное событие, то для любого события В его вероятность равна сумме
Теорема умножения вероятностей оказывается особенно полезной при рассмотрении составных испытаний. Говорят, что испытание Т составлено из испытаний T1 , T2 ,..., Tn-1 , Tn , если каждый исход испытания Т есть совмещение некоторых исходов Ai , Bj ,..., Xk , Yl соответствующих испытаний T1 , T2 ,..., Tn-1 , Tn . Из тех или иных соображений часто бывают известны вероятности
P (Ai ), P (Bj /Ai ), …, P (Yl /Ai C Bj C … C Xk ). (5)
По вероятностям (5) с помощью теоремы умножения могут быть определены вероятности Р (Е ) для всех исходов Е составного испытания, а вместе с тем и вероятности всех событий, связанных с этим испытанием (подобно тому, как это было сделано в разобранном выше примере). Наиболее значительными с практической точки зрения представляются два типа составных испытаний: а) составляющие испытания не зависимы, то есть вероятности (5) равны безусловным вероятностям P (Ai ), P (Bj ),..., P (Yl ); б) на вероятности исходов какого-либо испытания влияют результаты лишь непосредственно предшествующего испытания, то есть вероятности (5) равны соответственно: P (Ai ), P (Bj /Ai ),..., P (Yi / Xk ). В этом случае говорят об испытаниях, связанных в цепь Маркова. Вероятности всех событий, связанных с составным испытанием, вполне определяются здесь начальными вероятностями Р (Аi ) и переходными вероятностями P (Bj / Ai ),..., P (Yl / Xk ) (см. также Марковский процесс ).
Случайные величины. Если каждому исходу Er испытания Т поставлено в соответствие число х,, то говорят, что задана случайная величина X . Среди чисел x1 , х2 ,......, xs могут быть и равные; совокупность различных значений хг при r = 1, 2,..., s
При одновременном изучении нескольких случайных величин вводится понятие их совместного распределения, которое задаётся указанием возможных значений каждой из них и вероятностей совмещения событий
{X1 = x1 }, {X2 = x2 }, …, {Xn = xn } , (6)
где xk — какое-либо из возможных значений величины Xk . Случайные величины называются независимыми, если при любом выборе xk события (6) независимы. С помощью совместного распределения случайных величин можно вычислить вероятность любого события, определяемого этими величинами, например события a< X1 + Х2 +... + Xn < b и т.п.
Часто вместо полного задания распределения вероятностей случайной величины предпочитают пользоваться небольшим количеством числовых характеристик. Из них наиболее употребительны математическое ожидание и дисперсия .
В число основных характеристик совместного распределения нескольких случайных величин, наряду с математическими ожиданиями и дисперсиями этих величин, включаются коэффициенты корреляции и т.п. Смысл перечисленных характеристик в значительной степени разъясняется предельными теоремами (см. раздел Предельные теоремы).
Схема испытаний с конечным числом исходов недостаточна уже для самых простых применений В. т. Так, при изучении случайного разброса точек попаданий снарядов вокруг центра цели, при изучении случайных ошибок, возникающих при измерении какой-либо величины, и т.д. уже невозможно ограничиться испытаниями с конечным числом исходов. При этом в одних случаях результат испытания может быть выражен числом или системой чисел, в других — результатом испытания может быть функция (например, запись изменения давления в данной точке атмосферы за данный промежуток времени), системы функций и т.п. Следует отметить, что многие данные выше определения и теоремы с незначительными по существу изменениями приложимы и в этих более общих обстоятельствах, хотя способы задания распределений вероятностей изменяются (см. Распределения , Плотность вероятности ).
Наиболее серьёзное изменение претерпевает определение вероятности, которое в элементарном случае давалось формулой (2). В более общих схемах, о которых идёт речь, события являются объединениями бесконечного числа исходов (или, как говорят, элементарных событий), вероятность каждого из которых может быть равна нулю. В соответствии с этим свойство, выраженное теоремой сложения, не выводится из определения вероятности, а включается в него.
Наиболее распространённая в настоящее время логическая схема построения основ В. т. разработана в 1933 советским математиком А. Н. Колмогоровым. Основные черты этой схемы следующие. При изучении какой-либо реальной задачи — методами В. т. прежде всего выделяется множество U элементов u, называемых элементарными событиями. Всякое событие вполне описывается множеством благоприятствующих ему элементарных событий и потому рассматривается как некое множество элементарных событий. С некоторыми из событий А связываются определённые числа Р (A ), называемые их вероятностями и удовлетворяющие условиям
1. 0 lb Р (А ) lb 1,
2. P (U ) = 1,
3. Если события A1 ,..., An попарно несовместны и А — их сумма, то
Р (А ) = Р (A1 ) + P (A2 ) + … + Р (An ).