Эпистемология классическая и неклассическая
Шрифт:
Некоторые философы не были согласны с Платоном в том, что для объяснения особого характера математического знания необходимо предполагать существование особого мира бестелесных идей. Достаточно согласиться с тем, считали эти философы, что в математике ум, сознание имеют дело сами с собой и с результатами своей деятельности, не зависимой от опыта. Ведь то, что породило сознание, бессмысленно проверять с помощью опыта. Я, например, могу вообразить существо с головой человека и телом крокодила. Если я знаю, что это только продукт моего воображения, существующий лишь в моем сознании, я понимаю, что опыт не может ни подтвердить, ни опровергнуть это представление. Все те качества, которые я припишу этому вымышленному существу, будут свойственны ему совершенно бесспорно. Однако в данном случае сам вымышленный мною образ стал возможен только потому, что я встречал в опыте как людей, так и крокодилов (или по крайней мере видел крокодилов в кино или по телевизору). Но можно себе представить такую деятельность сознания, считают эти философы, когда оно не перерабатывает вообще никаких
Однако были и другие философы, которые не соглашались с такого рода объяснениями. Да, говорили эти философы, знание в математике, действительно, довольно специфично, поскольку внеопытно. Но для объяснения этой особенности вовсе не обязательно предполагать существование особого бестелесного мира идей или врожденного мира сознания, поскольку наша жизнь, обычная практика и развитие науки заставляют с большим подозрением относиться к такого рода предположениям. Специфику знания в математике можно объяснить гораздо проще. Все дело в том, что в действительности математическое знание не является… знанием.
Вот как рассуждали эти философы.
Все наши знания мы выражаем обычно с помощью языка. Это могут быть знания о нашем обычном опыте («Там находится большой трехэтажный дом», «Листья этого дерева уже облетели»). Это могут быть знания о законах природы («Каждое тело, не подвергаемое воздействию извне, покоится или движется равномерно и прямолинейно»). Но язык выражает не только знания. Наши высказывания могут содержать приказы («Огонь!»), просьбы («Закройте, пожалуйста, окно»), обещания («Клянусь говорить правду и только правду»). Есть однако еще одна группа утверждений, которые не передают ни знаний о мире, ни просьб или обещаний. Они выражают значения слов данного языка. Таково, например, высказывание «Холостяк — это неженатый мужчина». Для того, чтобы убедиться в его истинности, вовсе не нужно изучать холостяков с целью выяснения, все ли они, действительно, являются неженатыми. Если вы понимаете смысл слова «холостяк» в русском языке, вы согласитесь с тем, что холостяк — это в самом деле неженатый мужчина. Истинность этого высказывания, таким образом, определяется независимо от опыта. Такие высказывания получили название аналитических. Особенность такого рода высказываний состоит в том, что они выражают не знания, а характер того средства — языка, — которое мы используем для выражения любых знаний. Ряд философов предположили, что законы логики (закон тождества, закон противоречия и закон исключенного третьего)· тоже являются такого рода аналитическими высказываниями. Затем эти философы попытались показать, что все математические утверждения (начиная с утверждений арифметики) можно чисто логическим путем вывести из этих логических законов. Если бы этот замысел удался, можно было бы с определенным основанием считать, что математика сводится к логике, а поскольку логика состоит лишь из аналитических высказываний, то и математика — это ни что иное, как система такого рода высказываний. В этом случае априорный характер математики можно было бы связать не с существованием особого царства нематериальных идей и не с врожденными характеристиками нашего сознания, а попросту с логической структурой языка.
Однако реальный характер познания в математике оказался не столь простым. Для многих разделов математики существенным является оперирование с бесконечностью (бесконечность натурального ряда чисел в арифметике, бесконечные переходы в интегральном и дифференциальном исчислении и т. д.). Между тем, вывести утверждения о бесконечности из простых высказываний формальной логики оказалось невозможным. В начале XX столетия выяснилось, что во многих случаях оперирование математической бесконечностью ведет к парадоксам (неразрешимым противоречиям).
Представьте себе, что вы работаете в гардеробе театра. Пришедшие на спектакль зрители сдали вам свои пальто и получили от вас номерки. Ясно, что каждому сданному пальто соответствует свой номерок. Не может быть, чтобы количество пальто и номерков не совпадало. В математике совокупность предметов, объединяемых по некоторому признаку, называют множеством. В данном случае мы имеем два множества: пальто и номерков. Когда каждому элементу одного множества можно поставить в соответствие один и только один элемент другого множества, мы говорим о том, что эти два множества равномощны (на более привычном нам, хотя и менее строгом с математической точки зрения языке, мы можем сказать, что в этом случае два множества содержат равное количество элементов). Если же мы не на все пальто выдавали номерки, то, разумеется, равномощности двух множеств не получится: одно из них (в данном случае множество пальто) будет «мощнее» другого (множества номерков). Одно множество
Но вот когда мы переходим к множествам бесконечным, дело основательно запутывается.
Представьте себе множество всех натуральных чисел: 1,2,3,4,5,6, 7,8…. Ясно, что это множество бесконечно. А теперь представьте себе множество всех четных чисел: 2,4,6,8…. Ясно, что и это множество тоже бесконечно. Не менее ясно и то, что четные числа составляют лишь часть всех натуральных: ведь четным является не всякое натуральное число, наряду с четными существуют и нечетные натуральные числа. Если одно множество составляет часть другого, разумеется, оно уступает по мощности тому множеству, в которое оно входит. Значит, мощность всех четных чисел гораздо меньше мощности всех натуральных чисел. Но теперь давайте проделаем такую процедуру. Сопоставим каждый элемент множества всех четных чисел с каждым элементом всех натуральных чисел. Иными словами, поставим в соответствие числа 2 и 1, 4 и 2, 6иЗ, 8 и 4, 10 и 5 и т. д. Ясно, что каждому элементу одного из этих множеств мы можем поставить в соответствие один и только один элемент другого. Значит, два множества равномощны. Но ведь этого же не может быть, поскольку одно из них только часть другого! Мы пришли к парадоксу, неразрешимому противоречию.
При действиях с бесконечными множествами такого рода парадоксов возникает немало. Для их разрешения предлагались разные средства, в том числе связанные с новым пониманием бесконечности в математике не как законченного, «данного» множества, а как процесса, как возможности бесконечного повторения некоторых элементарных операций. Самое интересное состоит в том, что при подобном понимании бесконечности приходится не только иначе понять целый ряд разделов математики, но и отказаться при оперировании с бесконечностью от одного из основных логических законов: закона исключенного третьего (который гласит, что каждое из двух утверждений, противоречащих друг другу — например, «Это моя книга» и «Это не моя книга» — является либо истинным, либо ложным). Выходит, что приходится внести существенные поправки в традиционное понимание априорности математического знания как чего-то совершенного, неизменного и не зависящего от развития познания. Получается, что могут меняться наши представления о принципиальных понятиях математики, что мы иногда вынуждены пересматривать старые результаты и даже отказываться от некоторых из них. Оказывается, что даже применение основных логических законов, которые лежат в основании всей математики, зависит от той предметной области, с которой мы имеем дело (закон исключенного третьего действует в отношении конечных множеств и неприменим в случае бесконечных процессов).
Так возникает мысль, что, по видимому, математика все же каким-то образом связана с опытом, хотя эта связь очень сложна и отлична от связи с опытом остальных видов знания.
К этой же мысли приводит размышление и над другими событиями, случившимися в математике в XIX–XX столетиях.
Как вы знаете, изучаемая вами в школе геометрия (называемая эвклидовой, по имени великого древнегреческого математика Эвклида, который сформулировал ее основные положения) исходит из ряда аксиом и постулатов. Один из постулатов эвклидовой геометрии гласит: если вне данной прямой дана точка, то через нее можно провести только одну прямую, параллельную данной. В XIX веке великий русский математик Лобачевский поставил вопрос: а что, если отказаться от этого постулата и заменить его другим, согласно которому таких прямых будет не одна, а множество? Можно ли в этом случае создать иную, неэвклидову геометрию со своими теоремами? Лобачевский построил такую неэвклидову геометрию, которую он назвал «воображаемой», так как считал, что та геометрия, которая соответствует нашим представлениям о пространстве, может быть только эвклидовой. После Лобачевского и другие математики создали несколько систем неэвклидовой геометрии. Но в XX столетии, когда Эйнштейном была создана теория относительности, описывающая физическую реальность и проверяемая на опыте, оказалось, что именно неэвклидова геометрия соответствует физике нашего мира. Выясняется, что геометрия тоже связана с опытом. Эвклидова геометрия хорошо описывает наш обычный опыт. А в тех случаях, когда мы имеем дело с Вселенной в целом, наиболее подходящей для описания характеристик пространства будет неэвклидова геометрия.
Сейчас многие ученые приходят к выводу, что нужно отказаться от понимание математики как чисто дедуктивной науки, в которой нет места для выдвижения разного рода предположений (гипотез), их сопоставления с определенного рода опытом, уточнения и изменения этих гипотез, а, возможно, и их опровержения (что характерно для всех остальных наук). Англо-венгерский философ Лакатос изучал под этим углом зрения историю математики и пришел к интересным выводам на примере доказательств, опровержений и уточнений так называемой стереометрической теоремы, относящейся к соотношению между числами сторон, вершин и граней многогранника. Лакатос показал, что история этой теоремы — это история выдвижения разных предположений, которые затем опровергались приводимыми новыми примерами, уточнялись, формулировались снова и т. д. В существенных чертах этот процесс очень напоминает то, что делается во всех опытных науках.
Таким образом, математика представляет собой особый вид знания. Если и существует связь математических знаний с опытом (а, невидимому, это так), то эта связь очень сложная и не всегда очевидная. Вместе с тем математика всегда играла исключительную роль в развитии науки. Большинство ученых и философов считали, что настоящее, т. е. точное знание о природе, обществе и самом человеке может быть выражено только на математическом языке. Так ли это? Об этом мы узнаем в дальнейших разделах.