Фейнмановские лекции по гравитации

Фейнман Ричард Филлипс

T

_,

=

0.

(3.5.6)

3.6. Уравнения гравитационного поля

Вывод уравнений начнём с выписывания всех возможных произведений нашего полевого тензора h. На каждом шагу имеют место значительные упрощения, если мы используем симметрию тензора h при комбинации различных членов. Если два тензорных индекса отличны от индекса производной, мы имеем два различных произведения

1.

h

_,

h

^,

2.

h

_,

h

^,

Если

имеются два индекса, которые равны, мы можем иметь три возможных произведения

3.

h

_,

h

_,

4.

h

_,

h

_,

5.

h

_,

h

^,

Не все пять произведений необходимо рассматривать, произведение п. 2 может быть опущено, поскольку оно может быть преобразовано в произведение п. 3 интегрированием по частям. Таким образом, предполагаем, что лагранжиан имеет следующий вид

S

=

d

a

h

^,

h

_,

+

b

h

_,

h

_,

+

c

h

_,

h

_,

+

+

d

h

_,

h

^,

–

T

h

.

(3.6.1)

Теперь мы вариируем эту сумму четырёх произведений по отношению к тензору h для того, чтобы получить дифференциальное уравнение, связывающее полевые производные с тензором источника T. Таким образом, приходим к следующему результату (необходимо помнить, что h симметричен по индексам , , так что симметричная часть его коэффициентов должна быть равна нулю)

a2

h

_,

^,

+

b

(

h

_,

^,

+

h

_,

^,

)

+

+

c

(

h

_,

+

h

_,

)

+

d2

h

_,

=-

T

.

(3.6.2)

Мы

берём производную каждого из этих членов по отношению к индексу , тогда требование, что дивергенция левой части должна быть равна нулю, приводит к следующему уравнению

2a

h

^,

_,

+

b

h

^,

_,

+

b

h

^,

_,

+

c

h

^,

+

+

c

h

_,

+

2d

h

_,

^,

=

0.

(3.6.3)

Теперь объединяем члены с одним и тем же множителем и берём значение соответствующего коэффициента равным нулю; получаем следующие соотношения, которые включают в себя перестановку и смену индексов:

h

^,

_,

(2a+b)

=

0,

h

^,

(b+c)

=

0,

h

_,

(c+2d)

=

0.

(3.6.4)

Если мы выбираем масштаб для наших результатов такой, что a= 1/2 , мы получаем

a

=

1

2

,

b

=

– 1

,

c

=

1

,

d

=-

1

2

.

(3.6.5)

Предположительно, теперь мы получили правильный лагранжиан для гравитационного поля. Как следствие из этого лагранжиана мы получим в конце концов полевое уравнение.

3.7. Определение символов

Манипуляции с тензорными величинами становятся всё более скучными в той работе, которой мы занимаемся; и для того, чтобы не увязнуть в алгебре со многими индексами, могут быть разработаны некоторые упрощающие приёмы. В настоящее время не очевидно, что определения, которые мы делаем, полезны; подтверждение этому проявится в их более позднем использовании.