Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:

T

,

=

0.

(3.5.6)

3.6. Уравнения гравитационного поля

Вывод уравнений начнём с выписывания всех возможных произведений нашего полевого тензора h. На каждом шагу имеют место значительные упрощения, если мы используем симметрию тензора h при комбинации различных членов. Если два тензорных индекса отличны от индекса производной, мы имеем два различных произведения

1.

h

,

h

,

2.

h

,

h

,

Если

имеются два индекса, которые равны, мы можем иметь три возможных произведения

3.

h

,

h

,

4.

h

,

h

,

5.

h

,

h

,

Не все пять произведений необходимо рассматривать, произведение п. 2 может быть опущено, поскольку оно может быть преобразовано в произведение п. 3 интегрированием по частям. Таким образом, предполагаем, что лагранжиан имеет следующий вид

S

=

d

a

h

,

h

,

+

b

h

,

h

,

+

c

h

,

h

,

+

+

d

h

,

h

,

T

h

.

(3.6.1)

Теперь мы вариируем эту сумму четырёх произведений по отношению к тензору h для того, чтобы получить дифференциальное уравнение, связывающее полевые производные с тензором источника T. Таким образом, приходим к следующему результату (необходимо помнить, что h симметричен по индексам , , так что симметричная часть его коэффициентов должна быть равна нулю)

a2

h

,

,

+

b

(

h

,

,

+

h

,

,

)

+

+

c

(

h

,

+

h

,

)

+

d2

h

,

=-

T

.

(3.6.2)

Мы

берём производную каждого из этих членов по отношению к индексу , тогда требование, что дивергенция левой части должна быть равна нулю, приводит к следующему уравнению

2a

h

,

,

+

b

h

,

,

+

b

h

,

,

+

c

h

,

+

+

c

h

,

+

2d

h

,

,

=

0.

(3.6.3)

Теперь объединяем члены с одним и тем же множителем и берём значение соответствующего коэффициента равным нулю; получаем следующие соотношения, которые включают в себя перестановку и смену индексов:

h

,

,

(2a+b)

=

0,

h

,

(b+c)

=

0,

h

,

(c+2d)

=

0.

(3.6.4)

Если мы выбираем масштаб для наших результатов такой, что a= 1/2 , мы получаем

a

=

1

2

,

b

=

– 1

,

c

=

1

,

d

=-

1

2

.

(3.6.5)

Предположительно, теперь мы получили правильный лагранжиан для гравитационного поля. Как следствие из этого лагранжиана мы получим в конце концов полевое уравнение.

3.7. Определение символов

Манипуляции с тензорными величинами становятся всё более скучными в той работе, которой мы занимаемся; и для того, чтобы не увязнуть в алгебре со многими индексами, могут быть разработаны некоторые упрощающие приёмы. В настоящее время не очевидно, что определения, которые мы делаем, полезны; подтверждение этому проявится в их более позднем использовании.

Поделиться:
Популярные книги

Протокол "Наследник"

Лисина Александра
1. Гибрид
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Протокол Наследник

Император

Рави Ивар
7. Прометей
Фантастика:
фэнтези
7.11
рейтинг книги
Император

Кодекс Охотника. Книга IX

Винокуров Юрий
9. Кодекс Охотника
Фантастика:
боевая фантастика
городское фэнтези
попаданцы
5.00
рейтинг книги
Кодекс Охотника. Книга IX

Государь

Кулаков Алексей Иванович
3. Рюрикова кровь
Фантастика:
мистика
альтернативная история
историческое фэнтези
6.25
рейтинг книги
Государь

Товарищ "Чума"

lanpirot
1. Товарищ "Чума"
Фантастика:
попаданцы
альтернативная история
4.00
рейтинг книги
Товарищ Чума

Игра престолов

Мартин Джордж Р.Р.
Фантастика:
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Игра престолов

Сердце Дракона. Том 20. Часть 1

Клеванский Кирилл Сергеевич
20. Сердце дракона
Фантастика:
фэнтези
боевая фантастика
городское фэнтези
5.00
рейтинг книги
Сердце Дракона. Том 20. Часть 1

В комплекте - двое. Дилогия

Долгова Галина
В комплекте - двое
Фантастика:
фэнтези
юмористическая фантастика
попаданцы
8.92
рейтинг книги
В комплекте - двое. Дилогия

Никчёмная Наследница

Кат Зозо
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Никчёмная Наследница

Законник Российской Империи. Том 4

Ткачев Андрей Юрьевич
4. Словом и делом
Фантастика:
городское фэнтези
альтернативная история
аниме
дорама
5.00
рейтинг книги
Законник Российской Империи. Том 4

Тайный наследник для миллиардера

Тоцка Тала
Любовные романы:
современные любовные романы
5.20
рейтинг книги
Тайный наследник для миллиардера

Новый Рал 9

Северный Лис
9. Рал!
Фантастика:
попаданцы
аниме
фэнтези
фантастика: прочее
5.00
рейтинг книги
Новый Рал 9

Её (мой) ребенок

Рам Янка
Любовные романы:
современные любовные романы
6.91
рейтинг книги
Её (мой) ребенок

Матабар

Клеванский Кирилл Сергеевич
1. Матабар
Фантастика:
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Матабар