Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
g
x'
)
+
1
2
g
x
x'
x'
=
0.
(4.6.8)
Существуют другие способы записи уравнений, которые могут быть иногда полезны. Сначала мы перегруппируем члены, в которых имеются две скорости, с одной стороны равенства
g
x''
=
1
2
g
x
–
g
x
x'
x'
.
(4.6.9)
Теперь
[,]
=
1
2
g
x
+
g
x
–
g
x
.
(4.6.10)
Уравнение движения, выраженное через такую скобку (называемую ковариантными коэффициентами связности), становится довольно простым
g
x''
=-
[,]
x'
x'
.
(4.6.11)
Имеется одно следствие этого уравнения, которое немедленно получается дифференцированием по параметру произведения gx'x'
(
g
x'
x'
)
=2
g
x'
x''
+
g
x
x'
x'
x'
.
(4.6.12)
Если мы перепишем произведение gx'' в первом члене в правой части его выражением (4.6.9) и переобозначим индексы суммирования, мы находим, что производная тождественно равна нулю. Таким образом, произведение gx'x' есть скалярная константа. Если мы определим новый параметр s следующим соотношением
g
x'
x'
=
ds
d
^2
,
то s -
g
x
x
=
1.
(4.6.13)
4.7. Орбитальное движение частицы вокруг звезды
Уравнение движения может быть записано через полевой тензор следующим образом (что следует из соотношения (4.6.8))
d
ds
(
x
+
2
h
x
)=
h
x
x
x
.
(4.7.1)
Перед решением уравнения движения следует заметить, что нам необходимы соответствующие выражения для гравитационных полей. Мы интересуемся этими выражениями в области, где нет источников массы. Таким образом, полевое уравнение
h
,
–
2
h
,
,
=
T
(4.7.2)
может быть решено способом, аналогичным решению уравнения Максвелла, если мы используем лоренцеву калибровку h,=0. Вспоминая определение даламбертиана =(/t)^2-^2, получаем
h
=-
T
.
(4.7.3)
Для гравистатического случая, когда временная зависимость имеет нулевую частоту, мы должны иметь ньютоновский закон для силы; компонент T пропорционален массе. Другие компоненты равны нулю. Полевой тензор есть
h
=-
M
4r
,
h
=
0,
(,/=4,4).
(4.7.4)
Тензор без черты получается вычислением оператора ”черты” от обеих частей
h
=
h
–
1
2
h
=
–
8
M
r
<