Фейнмановские лекции по гравитации

Фейнман Ричард Филлипс

e

=

q

1

q^2

q

e

+

q

1

q^2

q

e

.

(4.4.4)

Такое разделение вектора на два слагаемых в точности выражает вектор e как симметризованный градиент

e

=

_,

+

_,

.

(4.4.5)

Ранее

мы обсудили, как калибровочная инвариантность гравитационного поля означает, что добавление члена такого вида не приводит к отличиям в физике явления. Отсюда следует, что всегда можно добавить некоторый член к e так, что e=0. Мы будем называть такие волны с q^2/=0 ”калибровочными волнами”; эти волны не связаны ни с какими физическими эффектами и могут быть всегда устранены калибровочным преобразованием.

Если q^2=0, то из уравнения (4.3.3) следует, что

q

e

=

0.

(4.4.6)

Это так называемые свободные волны должны удовлетворять лоренцеву калибровочному условию. Дело не только в выборе

h

_,

=

0

(4.4.7)

для удобства в случаях, в которых волна не свободна. Этот факт имеет свой электромагнитный аналог, для фотонов величина qe должна быть равна нулю.

Мы можем вывести действительный вид тензора поляризации e в системе координат такой, что 4-вектор импульса равен

q

=

(,,0,0)

.

(4.4.8)

Если мы выбираем

e'

=

e

+

q

+

q

(4.4.9)

и требуем, что e' должна иметь компоненты только в трансверсальном направлении, мы получаем систему уравнений, которая может быть разрешена и получен ответ

e'

=-

e'

=

1

2

,

e'

=

e'

=

1

2

.

(4.4.10)

Для того, чтобы получить соотношения (4.4.10), заметим, что из уравнения (4.4.6) следует, что e₄=-e₃, так что только компоненты с индексами 4, 1 и 2 являются независимыми. Компоненты с индексом 4 могут быть удалены, если требуется, с помощью преобразования (4.4.9). Например, e'=e+, тогда выберем =-e/, =-e/. Тогда e'=e+-, выберем -=-e/ тогда e'=e'=e'=e'=0. Выбирая =-e/2, сделаем следующую величину равной нулю e'=e+2=0. Тогда, так как величина e' также равна нулю, то след e' равен нулю, следовательно, равны нулю также и e' и e'+e' Поэтому остались ненулевыми среди величин e' только компоненты с индексами , = 1 или 2

и для них e'=-e' Имеется только две линейно независимые нормализованные комбинации (4.4.10).

Рис. 4.3.

Амплитуда для комптоновского рассеяния гравитона частицей массы m соответствует диаграммам, изображённым на рис. 4.3. Поляризации гравитона представляются тензором e; для скалярной массы компоненты импульса в каждой вершине -^1p, (^1p+^1q) = (^2p+^2q) и ^2p. На языке этих величин мы имеем для первой диаграммы

4^2

^2

e

^2p

(

^2p

+

^2q

)-

1

2

m^2

1

(^1p+^1q)^2-m^2

x

x

^1

e

^1p

(

^2p

+

^2q

)-

1

2

m^2

.

(4.4.11)

Пропагатор написан таким образом, что подходит для скалярной частицы. Некоторые ограничения в этой формуле следуют из ограничения для плоских волн q^2=0 и qe.

4.5. Нелинейные диаграммы для гравитонов

Из калибровочной инвариантности мы ожидаем, что замена ^1e на ^1e+^1qa+^1qa не должна бы влиять на комптоновскую амплитуду. Однако прямая подстановка показывает, что это утверждение не является верным. Что же ошибочно в наших рассуждениях?

Рис. 4.4.

При комптоновском рассеянии фотонов электронами имеется третья диаграмма, изображённая на рис. 4.4, которая неаналогична ни одной из диаграмм, изображённых на рис. 4.3. Эта диаграмма соответствует квадратичному взаимодействию в A^2, которое появляется в лагранжиане для того, чтобы сделать теорию калибровочно инвариантной. По аналогии с ситуацией в электродинамике мы могли бы полагать, что при рассмотрении только пары диаграмм, изображённых на рис. 4.3, мы делали приближение к правильному описанию путём линеаризации. Существование амплитуды с квадратичным взаимодействием, соответствующим диаграмме, изображённой на рис. 4.3, может быть выведено в электродинамике требованием того, чтобы калибровочная подстановка

e'

=

e

+

qa

(4.5.1)

не должна была бы приводить к изменению в амплитуде в заданном порядке. Такая процедура состоит просто в приравнивании членов одного и того же порядка амплитуд, полученных из e и e', с коэффициентами перед каждым членом, которые должны быть определены. Может быть возможно вывести форму квадратичного члена гравитона аналогичным способом, но это пока ещё не было сделано, поскольку самовзаимодействие гравитона делает анализ довольно сложным во втором порядке, и мы получим правильные выражения, используя другой подход.