Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
h
=
e
exp(ik·x)
,
(4.1.2)
с вектором поляризации e, нормализованным таким образом, что
e
e
=
1.
(4.1.2)
Действие, которое описывает общую энергию полей гравитации, вещество и взаимодействие между веществом и гравитонами, имеет следующий
S
=
1
2
dV
h
,
h
,
– 2
h
,
h
,
(поля)
+
dV
(
h
T
)
(член взаимодействия)
+
S
M
(материя).
(4.1.4)
Мы можем вывести из лагранжианов полей некоторые важные свойства, например, мы можем понять, почему гравитация притягивает как частицы, так и античастицы, в то время как в электричестве одинаковые заряды отталкиваются, а противоположные притягиваются. Может быть показано, что это свойство связано со знаком лагранжиана, так что если мы изменим знак лагранжиана S->– S, сила меняет знак. Знак констант взаимодействия или e, или g не даёт отличий в теории, так как он появляется в квадрате в любой диаграмме, которая представляет поправку к энергии; всегда вовлечены две вершины. Мы можем поменять знак энергии, соответствующей диаграмме такой, как изображённой на рис. 4.1, только, если мы можем ввести множитель i в каждой вершине, например, если мы должны использовать поля i вместо .
Рис. 4.1.
Тем не менее, поля должны представлять соответствующие плоские волны, которые согласовано определены так, что установившиеся волны в большой коробке имеют положительные значения энергии и квантово-механические осцилляторы, которые представляют эти установившиеся волны, ведут себя правильно. Скалярные поля имеют плоские волны
=
a
exp(ik·x)
.
(4.1.5)
Амплитуда a для квантового поля появляется как координата квантово-механического осциллятора. Если значения кинетической энергии таких осцилляторов, которые пропорциональна a^2, должны представлять положительные значения энергии, мы обязаны записать нашу теорию последовательным образом, и замена ->i была бы ошибкой.
Для электромагнитных волн именно компоненты в трансверсальном направлении, перпендикулярном направлению распространения, ограничиваются при подобном рассмотрении. Отрицательный знак появляется в связанной энергии потому, что энергия включает в себя пространственные индексы в скалярное произведение двух векторов, которое мы определили как
A
B
=
AB
– (
AB
+
AB
+
AB
).
(4.1.6)
Знак кулоновских сил связан со знаком временных компонент в лагранжиане. Для гравитационных волн
4.2. Тензор энергии-импульса для скалярной материи
Прежде, чем мы сможем вычислять наблюдаемые эффекты и делать предсказания другие, чем закон ”обратных квадратов”, и то, что ”одинаковые тела” притягиваются с силой, пропорциональной его энергии, мы должны определить, как материя определяет тензор давления T. Сначала мы проведём в некоторых деталях вычисления, основанные на простейшем предположении, что материя может быть представлена скалярной функцией . Позднее нам понадобится рассматривать функции более высокого ранга; возможно в конце курса мы рассмотрим вещество со спином 1/2 , поскольку такое вещество имеет свойства, существенно отличающиеся от вещества, характеризующегося целым спином. Для исследования свойств материи с целыми значениями спина 1 и 2 требуются более сложные алгебраические преобразования, однако никаких принципиальных нововведений привлекать не требуется.
Как сделать обобщение плотности энергии-импульса для скалярного поля . Если заглянуть в книгу Вентцеля [Went 49] по теории поля, мы обнаружим, что предлагается следующая процедура. Предположим, что лагранжиан зависит от полей и их производных
L
=
L(
i
i
,
).
(4.2.1)
Компонент с индексами {44} тензора энергии-импульса должен представлять плотность энергии, которая есть гамильтониан. Поэтому используя обычное классическое описание для выражения гамильтониана из лагранжиана
H
=
q
L
q
–
L
,
(4.2.2)
получаем следующее соотношение
T
=
i
,
L
i,
–
L
.
(4.2.3)
Это правило не является корректным в общем случае. Во-первых, оно не обязательно приводит к выражению, симметричному по индексам и . Если тензор T– несимметричен, то результирующая теория - патологическая (например, нет способа определить угловой момент в таком поле). Закон сохранения энергии в общем случае не выполняется, поскольку в дивергенцию включены члены, которые не являются больше равными
T
,
/=
T
,
.
(4.2.4)
В нашем частном скалярном случае правило (4.2.3) действительно приводит к тому, чтобы получить удовлетворительную симметричную форму. Мы получаем лагранжиан и действие
S
(Скалярная материя)
=
1
2
dV
(
,
,