Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
–
m^2^2
),
(4.2.5)
который даёт следующее выражение для тензора давления
T
=
,
,
–
1
2
,
,
+
1
2
m^2^2
.
(4.2.6)
С учётом тензора давления для скалярной материи (4.2.6) член, описывающий взаимодействие в лагранжиане, имеет следующий вид:
– h
T
=-
h
,
,
–
1
2
h
(
,
,
–
m^2^2
)
.
(4.2.7)
В
–
h
,
,
+
1
2
h
m^2^2
.
(4.2.8)
Теперь мы можем использовать член, описывающий взаимодействие, для того, чтобы получить амплитуды для рассеяния при обмене гравитоном.
4.3. Амплитуды для рассеяния (скалярная теория)
Рис. 4.2.
Амплитуда рассеяния, соответствующая обмену одним гравитоном, представлена на диаграмме, изображённой на рисунке 4.2, и может быть записана из исследования диаграммы, так как мы знаем форму пропагатора и для каждой вершины у нас есть член, описывающий взаимодействие, задаваемое лагранжианом (4.2.7). Заменим градиенты компонентами 4-импульса в импульсном представлении
i
,
=
p
,
(4.3.1)
так что член, описывающий взаимодействие, становится следующим для одной из вершин
2
^1p^2p
–
1
2
(
^1p
^2p
–
m^2
)
.
(4.3.2)
Мы пишем подчёркивание под произведением pp для того, чтобы напомнить, что мы должны использовать соответствующим образом симметризованную версию, так как h– симметричен. Более точно,
AB
1
2
[
A
B
+
A
B
].
(4.3.3)
Для второй вершины нам также необходима ”черта” для выражения, которое имеет следующий вид
2
^3pp
–
1
2
m^2
.
(4.3.4)
Тогда полное выражение для амплитуды есть следующее
4
^3pp
–
1
2
m^2
1
q^2
^1p^2p
–
1
2
(
^1p
^2p
–
m^2
)
.
(4.3.5)
Выбранные
Наша теория дала нам выражение для амплитуды гравитационного рассеяния одной частицы другой. Для того, чтобы вычислить что-нибудь, что имеет измеримую величину, мы должны придти к очень большим значениям массы, и для того, чтобы наблюдать эффект, который не определяется ньютоновским законом, нам необходимо использовать движения со скоростями, близкими к скорости света. Мы можем, например, вычислить угол отклонения тела малой массы, движущегося с очень большой скоростью (vc), которое отклоняется звездой, такой как Солнце. Здесь нам необходимо обосновать замену суммы амплитуд от всех частиц в звезде одной амплитудой, соответствующей массе M; подобная замена является аппроксимацией, но она даёт правильный ответ в первом порядке некоторого типа. Такой угол больше, чем его величина в рамках ньютоновской теории, и отличается на множитель (1+v^2/c^2).
Нельзя говорить о том, что этот результат соответствует отклонению света Солнца, потому что фотон не является скалярной частицей, отсюда следует, что он не может представляться скалярным массовым полем . Для рассеяния двух идентичных частиц такая амплитуда должна содержать обменный член, но для случая звезды - частицы, очевидно, не идентичны.
В нашей теории до сих пор не рассматривалась возможность того, что мы могли бы добавить член с нулевой дивергенцией к нашему тензору давления T; это соответствовало бы другому распределению в пространстве масс и давлений. Этот и связанные с ним вопросы в дальнейшем будут подробно обсуждаться. Даже для скалярной материи, как мы увидим, у нас есть действительная двусмысленность при определении тензора энергии-импульса T. Эта трудность также возникает в электродинамике, когда мы пытаемся записать взаимодействие фотонов с заряженными векторными мезонами.
4.4. Подробные свойства плоских волн. Эффект Комптона
Мы можем изучить свойства гравитационных волн в отсутствии материи; вариируя лагранжиан, получим уравнение
h
,
,
–
2
h
,
,
=
0,
(4.4.1)
которое аналогично уравнению Максвелла в пустом пространстве. Если мы используем решения типа плоских волн
h
=
e
exp(iq·x)
,
(4.4.2)
то уравнение принимает следующий вид
q^2
e
–
q
q
e
–
q
q
e
=
0.
(4.4.3)
Мы интересуемся случаями, когда q^2/=0 и q^2=0. Если q^2/=0, мы можем разделить на q^2 и переставить члены уравнения так, что