Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
h
,
+
+
1
2
h
h
+
1
4
h
h
h
,
.
(6.1.13)
Теперь для нас оказывается возможным, используя метод малых возмущений, вычислить все эффекты, которые рассматривались ранее. Для случая движения планет включение выражения для F^3 в интеграл от лагранжиана приводит к следующим выражениям и , которые должны быть
=
+
1
2
^2
…
=
–
3
8
^2
…
=-
2MG/r
.
(6.1.14)
Эти поправки приводят к полному согласию нашей теории с наблюдениями по прецессии перигелия Меркурия, так что последнее оставшееся расхождение между теорией и наблюдениями исчезает.
6.2. Формулировка теории, справедливой во всех порядках
Мы достаточно преуспели в нашей задаче, которую мы поставили перед собой в самом начале, построить полевую теорию гравитации по аналогии с другими хорошо известными полевыми теориями, которые бы адекватно описывали все известные характеристики феномена гравитации. Таким образом, наша воображаемая венерианская точка зрения оказалась плодотворной. Имеются некоторые слабые места в нашей теории; мы могли бы представить себе, что самые трудолюбивые венерианские теоретики могли бы не удовлетвориться теорией, в которой оставлены неопределёнными эффекты третьего порядка малости, и некоторые из них могли бы продолжить исследование функций F и F и т.д., которые должны быть добавлены к интегралу от лагранжиана для того, чтобы сделать теорию согласованной в более высоких порядках. Этот подход есть невероятно сложная процедура вычисления ненаблюдаемых поправок, и мы не будем соревноваться с нашими воображаемыми венерианами в этом отношении.
В физических теориях подчас возникает такая ситуация, что хотя поправки более высокого порядка в полном разложении удручающе скучно вычислять, возможно построить теорию, в которой суммируются все поправки более высокого порядка, для того, чтобы получить ответ, который является достижимым. Таким образом, представим себе честолюбивого и самоуверенного венерианина, который решил сделать попытку вывести полное разложение для функции F=F^2+F^3+F+F+… Мы будем искать функционал F описывающий действие, которое должно быть провариировано, по следующим эмпирическим причинам: по-видимому, не существует достаточно удовлетворительной теории, которая не является выводимой с использованием вариационного принципа, первый этап применения которого заключается в выписывании функционала, связанного с лагранжианом или гамильтонианом (обе формулировки являются эквивалентными) .
В настоящее время нет определённости относительно того, отражают ли неуспехи нелагранжевых теорий некоторую фундаментальную истину о природе. Возможно, что фундаментальная истина может быть в том, что физические процессы происходят согласно принципу минимальной фазы и что действия в классической физике или квантовой физике есть выражения для этой фазы, которые верны в некотором приближении. Амбициозная попытка облечь гравитацию в нелагранжеву формулировку была сделана Бирхгоффом [Birk 43]. Он сохранил линейные уравнения для полей, но изменил уравнения движения для частиц. Полученная в результате классическая теория была совершенно удовлетворительна, но она не позволяла непротиворечивого квантования. Было показано, что волновое движение волновых пакетов не следует постулированным классическим уравнениям, но следует уравнениям Эйнштейна! Кажется вероятным, что эта попытка квантования открыла некоторую скрытую несогласованность в этих полевых уравнениях.
Следовательно, мы будем искать полный функционал F,
F
=
F^2
+
F^3
+
F
+
… ,
(6.2.1)
который определяется из требования того, что результирующее уравнение есть уравнение движения
F
h
=
T
,
(6.2.2)
которое автоматически имеет следствием условие на дивергенцию T (6.1.9). Функционал F должен, следовательно, удовлетворять следующему дифференциальному функциональному уравнению:
g
F
h
,
+
[,]
F
h
=
0,
(6.2.3)
которое
6.3. Построение инвариантов по отношению к инфинитезимальным преобразованиям
Для того, чтобы решить задачу построения решений, удовлетворяющих уравнению (6.2.3), мы преобразуем это уравнение в некоторое эквивалентное утверждение о свойствах функционала F. Вначале заметим, что уравнение (6.2.3) есть векторное уравнение. Если мы возьмём скалярное произведение этого уравнения с произвольным вектором A(x). и проинтегрируем по всему пространству, то мы получим уравнение, которое выглядит несколько иначе
d
A
(x)
g
(x)
F
h
,
+
A
(x)
[,]
F
h
=
0.
(6.3.1)
Если функционал F удовлетворяет уравнению (6.3.1) для произвольного вектора A, тогда этот функционал удовлетворяет уравнению (6.2.3). Теперь мы можем проинтегрировать по частям первый член в подынтегральном выражении, так что мы избавляемся от градиента по отношению к . Мы получаем, что
d
F
h
– (
A
(x)
i
(x)
)
,
+
[,]
A
(x)
=
0.
(6.3.2)
Мы поместили черту под дифференциалом d для того, чтобы он напоминал нам, что мы должны взять усреднение этого интеграла, и в соответствующем интеграле, имеющем индексы и , происходит чередование индексов, а так как тензор h– симметричен, то имеющее смысл математическое тождество получается только в том случае, если скобка также симметрична по индексам и . Мы можем проинтерпретировать это уравнение (6.3.2) другим способом. Мы замечаем, что если мы делаем замену в первом порядке в тензоре h, скажем, пусть h меняется на h+ то величина функционала F меняется следующим образом:
F[h
+
]
=
F[h
]
+
F
h
+
… .
(6.3.3)
Следовательно, наше уравнение (6.3.2) говорит нам, что для инфинитезимального и в форме, появляющейся в уравнении (6.3.2), величина F остаётся неизменным.
Пусть тензорное поле h меняется инфинитезимальным преобразованием A на тензор h'. Выражаем h' согласно правилу, подразумеваемому в соотношении (6.3.2), как показано в следующем соотношении (мы должны помнить, что надо симметризовать выражение по индексам и использовать явное выражение для [,]):