Фейнмановские лекции по гравитации

Фейнман Ричард Филлипс

Мы попробуем исправить этот теоретический недостаток путём поиска нового тензора, который складывается со старым тензором T. который мог бы разрешить эту проблему, так что

(

T

+

^,

)

_,

=

0,

(5.5.1)

и в то же самое время полная энергия поля правильно учтена. Как мы найдём этот член? Мы могли бы попытаться построить правильный полный тензор, используя формулу Вентцеля и полный лагранжиан. Результат даёт несимметричный тензор, если мы проведём его симметризацию, проведём также вычисления, то оказывается, что выражение для прецессии перигелия Меркурия получается

неверным. Это другой пример эмпирического определения физических теорий: теории, не возникающие из некоторого рода вариационного принципа, такого как принцип минимального действия, могут в конечном счёте приводить к волнениям и противоречиям.

Сделаем попытку другого рода согласно общей линии нашего построения, заключающегося в испытаниях различных теорий в последовательном порядке увеличения сложности. Физически мы знаем, что мы пытаемся описать нелинейный эффект: гравитационное поле образовано энергией, энергия этого поля есть источник других полей. Здесь мы можем приступить к получению важного результата. Конечно возможно, что такая нелинейность может приниматься в расчёт для малого остаточного отличия в прецессии перигелия Меркурия. Мы будем требовать, чтобы полевые уравнения получались из вариации некоторого действия, и будем задавать себе вопрос о том, какого вида член должен быть добавлен к лагранжиану для того, чтобы получить член, похожий на член чтобы придти к уравнению движения

h

^,

_,

–

2

h

^,

=-

(

T

^,

+

^,

),

(5.5.2)

и такого, что соотношение (5.5.1) оказывается выполненным? Как может выглядеть выражение , если оно представляет вид гравитационной энергии? Несомненно, что, по крайней мере, частично эта величина пропорциональна квадратам полевых сил; это есть произведение двух градиентов потенциалов. Возможно, поэтому, есть сумма членов, похожих на h_,h_, + т.д., каждый из которых с двумя компонентами h и двумя производными.

Мы будем требовать, чтобы наши уравнения были выводимы из вариационного принципа такого, как наименьшее действие. Когда мы вариируем эти произведения, мы уменьшаем число компонент h, так что для лагранжиана, который используется для вычисления вариации действия, требуется связывающий член третьего порядка по h, который будем называть F^3; мы будем пытаться сделать преобразования так, что вариация F^3 приводит к члену

F^3

h

=

.

(5.5.3)

Алгебраическое выражение F^3 должно быть таким, чтобы оно включало в себя произведения трёх компонентов h и имело два индекса, по которым берётся производная. Типичный член F^3 может быть вида

F^3

=

a

h

h

^,

h

^,

+

… .

(5.5.4)

Когда мы записываем все возможные такие произведения, мы находим, что их 24. Мы могли бы в дальнейшем уменьшить это число, замечая, что некоторые члены могут быть сведены к комбинациям других интегрированием дважды по частям, эти соображения приводят нас к тому, чтобы записать 18 различных и независимых выражений. Следовательно, мы приходим к выражению для через компоненты h и 18 независимых констант.

Дальнейшая процедура очевидна. Мы пытаемся определить константы, исходя их условия, что

(

T

+

)

_,

=

0.

(5.5.5)

Эти

условия дают множество более, чем 18 уравнений для 18 констант. Тем не менее, оказывается, что все уравнения совместны и 18 констант определяются однозначно. Когда мы сделаем это, у нас будет уточнённая теория, которая правильно учитывает энергию самого гравитационного поля во втором порядке по h.

Лекция 6

6.1. Билинейные члены тензора энергии-импульса

Наша нынешняя теория линейна в том смысле, что мы написали уравнение относительно гравитационного поля h связывающего его с тензором давления T

h

_,

^,

–

2

h

_,

^,

=-

T

.

(6.1.1)

Но мы определили T, выразив его только через распределение материи, как будто на материю не действует гравитация, как будто энергия гравитационного поля сама по себе не является источником полей. Эффекты, связанные с влиянием гравитации на материю, которые мы хотели бы включить в рассмотрение, могут быть проиллюстрированы рассмотрением того, что может произойти, когда мы соединяем массы объектов 1 и 2 вместе в присутствии третьего объекта. Часть работы, которая произведена, может пойти на нагревание третьего объекта, так что энергия не сохраняется при рассмотрении только масс объектов 1 и 2 и полей, которые они порождают. Таким образом, энергия не сохранялась бы, если бы мы рассматривали только подсистемы; ящики, показанные штриховыми линиями на рис. 6.1, не имели бы одинаковый вес. Нелинейный эффект, обусловленный влиянием энергии поля, является более знакомым; мы вычислили поля, обусловленные распределением массы, как первое приближение; следующее приближение состоит в том, чтобы включить поля первого порядка как источники, и так мы приходим к самосогласованному решению.

Рис. 6.1.

Мы построим новый тензор давления из нашего старого тензора добавлением члена, который будет выводим из той части лагранжиана, которой пренебрегали ранее, и который обозначим F^3, путём вариации

^new

T

=

^old

T

+

,

=

F^3[h]

h

,

(6.1.2)

и надеемся, что эти трудности будут устранены, по крайней мере, в более высоких порядках по h

Так как мы пытаемся построить для того, чтобы устрашить тот недостаток тензора энергии-импульса ^oldT^oT, связанный с сохранением энергии ^oT_,/=0, мы получаем намёк на структуру , вычисляя дивергенцию ^oT_,. Дивергенция взаимно уничтожила бы ненулевую часть этой дивергенции ^oT_,, по крайней мере, в первом ненулевом порядке. Для того, чтобы вычислить эту дивергенцию, мы сначала перепишем тензор ^oT для движущейся частицы в новой форме, которая выглядит сначала непривычной, но с которой проще проводить преобразования. На языке интеграла по скалярному параметру, который также может быть собственным временем s (мы обозначаем точками производные по собственному времени s), получаем следующее выражение для этого тензора