Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
,
'
–
,
'
=
,
,
+
,
,
+
,
+
+
,
–
,
–
– минус члены, где индексы и переставлены.
(6.4.5)
Теперь трюк заключается в том, чтобы избавиться от двух вторых производных. Они умножаются на индексы Кристоффеля.
Введём новую величину R, определённую следующим образом
R
=
,
+
–
,
–
.
(6.4.6)
Заметим, что этот тензор явно антисимметричен по индексам и . Используя это обозначение, получаем наконец следующее соотношение
R'
=
R
+
,
R
+
,
R
+
+
,
R
+
,
R
+
R
,
.
(6.4.7)
То, что мы должны теперь делать, это обращаться с этим уравнением так же, как мы обращались с уравнением (6.3.5), которое имеет ту же самую форму, исключая то, что тензор в последнем соотношении предпочтительнее включать тензор R, а не g. Процедура, полностью аналогичная той, которая была рассмотрена ранее, приводит к ответу для инвариантной величины F:
F
=-
1
2^2
d
g
R
– Det g
.
(6.4.8)
Эта величина, как мы увидим ниже, есть часть действия в теории, справедливой во всех порядках.
6.5. Уравнение Эйнштейна для тензора энергии-импульса
Функционал F, который был только что выведен, даёт результаты в венерианской теории гравитации, идентичные тем, которые были получены Эйнштейном. Если мы делаем разложение функционала, когда гравитационные поля слабы, мы получаем главные члены нашего разложения такие же, как F^2 и F^3 в нашей более ранней теории. Мы можем сказать, следовательно, что наша венерианская точка зрения была успешна в достижении нашей цели построения самосогласованной теории гравитации посредством успешных логических шагов, предполагаемых по аналогии, но без видимого требования сверхчеловечески острой интуиции. Сам Эйнштейн, конечно, пришёл
Будем использовать следующее стандартное обозначение для трёх тензоров, выведенных из нашего тензора R, умножением на тензор g и свёртыванием:
g
R
=
Антисимметричен по индексам
и
,
R
=
R
,
g
R
=
R.
(6.5.1)
Величина R есть тензор (тензор Римана). Он антисимметричен при перемене индексов и , также антисимметричен при перемене и и симметричен, если пара меняется с . R (тензор Риччи) - симметричен.
Вариация функционала F, описываемого соотношением (6.4.8), по отношению к g приводит к следующему соотношению:
2
F
g
=-
1
^2
(-gR)
g
=-
1
^2
– g
R
–
1
2
g
R
,
(6.5.2)
где gDet g. Последняя величина в соотношении (6.5.2) есть тензор энергии-импульса нашей теории (см. соотношение (6.2.2)) и удовлетворяет следующему соотношению
g
T
,
=-
[,]
T
(или
T
,
=-
T
),
(6.5.3)
если сделана замена T как мы требовали это сделать. Отсюда следует, что полные уравнения гравитационного поля, правильные во всех порядках, являются следующими:
– g
R
–
1
2
g
R
=
^2
T
,
(6.5.4)
где T– наш тензор энергии вещества. Это уравнение и есть уравнение, полученное Эйнштейном.
Лекция 7
7.1 Принцип эквивалентности
В наших нынешних планах будет описание относительности и гравитации с точки зрения, которая в большей степени находится в согласии с подходом Эйнштейна. Мы надеемся, что, рассматривая теорию с различных выгодных точек зрения, мы лучше поймём теорию в целом. Теория гравитации, как она рассматривалась в рамках идей Эйнштейна, есть нечто настолько удивительно волнующее, что мы будем испытывать искушение попытаться сделать так, чтобы все остальные поля выглядели как гравитация, что является пожалуй предпочтительнее, чем продолжать исследование гравитации с венерианского направления, делающего гравитацию похожей на другие поля, которые нам привычны. Мы будем сопротивляться этому искушению.