Фейнмановские лекции по гравитации

Фейнман Ричард Филлипс

Если мы сравниваем дифференциальные уравнения движения частиц в электрическом и гравитационном полях, мы обнаруживаем, что уравнения движения в гравитационном поле имеет качественно отличный новый признак; не только градиенты, но и сами потенциалы появляются в уравнениях движения

Электромагнетизм:

d^2x

ds^2

=-

e

m

A

x

–

A

x

dx

ds

,

Гравитация:

d

ds

g

dx

ds

=

1

2

g

x

dx

ds

dx

ds

.

(5.2.1)

Таким

образом, даже хотя дифференциальные уравнения для самих полей весьма близки, существует различие в их интерпретации. Например, эти уравнения не говорят одно и то же в области с постоянным потенциалом и в области с нулевым потенциалом, хотя ускорения в обоих случаях равны нулю. Во вселенной вклад в потенциал, обусловленный удалёнными скоплениями,¹ должен быть практически постоянным по большим областям пространства, так что используем такое приближение.

¹ Мы будем пользоваться термином ”скопления” наряду с используемым Фейнманом словом ”nebulae” - ”туманности”, что ранее обозначало всякий неподвижный на небе объект. (Прим. перев.)

Вернёмся к формулировке теории в терминах лагранжиана и вариационного принципа для того, чтобы увидеть новые соотношения с величайшей простотой и общностью. Будем предполагать, что в некоторой подобласти пространства гравитационный тензор g не зависит от координат и имеет следующее значение

g

=

1+

;

g

=

g

=

g

=

– 1.

(5.2.2)

Мы предполагаем отрицательный потенциал, обусловленный влиянием удалённых масс, <0. Имеем следующее выражение для действия

–

m

2

d

g

dx

d

dx

d

=

=-

m

2

d

(1+)

dt

d

^2

–

dx

d

^2

–

dy

d

^2

–

dz

d

^2

.

(5.2.3)

Очевидно, что простая подстановка t'=t1+ восстанавливает выражение для интервала в его предыдущей алгебраической форме. Ясно, что влияние постоянного потенциала подобно изменению масштаба времени так, чтобы заставить физические процессы протекать более медленно в областях более низкого гравитационного потенциала.

Аргумент на языке только свободных частиц не является значимым, поскольку мы не можем утверждать, что скорость, при которой ничего не происходит, может меняться. Мы должны взглянуть

на поведение взаимодействующих частиц. С этой целью мы продолжаем использование нашей теории скалярного вещества; интеграл действия равен

1

2

dx

(

^,

_,

–

m^2^2

)-

dx

h

T

,

(5.2.4)

где

T

=

^,

L

_,

–

L

.

(5.2.4')

Мы можем явно разделить пространственные производные и производные по времени в градиентах и также выделить время в элементе объёма dx. Мы предполагаем, что поправки меньше 1, так что разложение разрешено, и мы получаем следующее выражение для интеграла действия

1

2

d^3x

dt

t

^2

1-

2

–

^2

1+

2

–

m^2^2

1+

2

.

(5.2.5)

Снова оказывается, что при dt'=dt=1+/2dt(1+/2) действие возвращается к своей первоначальной алгебраической форме. Ясно, что замедление времени имеет место для наших скалярных мезонов, представляемых . Можно показать, что замедление времени должно иметь место для всех взаимодействий, безотносительно к точной природе лагранжиана. Мы можем доказать с помощью формулы Вентцеля (5.2.4') для T. Гравитационное взаимодействие может быть явно отделено от остальной части лагранжиана, какой бы он ни был

L(общ)

=

L

–

h

T

.

(5.2.6)

При использовании выражение (5.2.4') и g из (5.2.2) так, что h, полный лагранжиан равен L-(/2)T или

L(общ)

=

L(1+/2)

–

L

_,t

_,t

(/2)

.

(5.2.7)

Предположим поэтому, что полный лагранжиан (включающий наш постоянный гравитационный потенциал) включает в себя только поле и его градиенты. Интеграл действия, выраженный через переменную t', по крайней мере, в первом порядке по , равен

Действие

=

d^3x

dt'

L(

_,t'

,,

_,x

)

,

(5.2.8)

так как _,t'=(1+)^{– 1/2} _,t,

Действие

=

d^3x

(1+)

^1/2

dt

L((1+)

^{– 1/2}

_,t

,,

_,x

)

.

<