Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
Наше достижение состоит в том, что мы получили новое соотношение, в которое включены и его градиенты совместно с числами, но не матрицами. Мы положим C=log(-Det g) и перепишем получившееся в результате уравнение как
C'
=
C
+
2
,
+
C
,
.
(6.3.14)
Если бы это выражение было бы полной производной, мы могли бы проинтегрировать по всему пространству для того, чтобы получить наш инвариант. Вид последних двух членов наводит на мысль, что exp(C/2) есть интегрирующий
exp(C')
=
exp[(
C
+
2
,
+
C
,
)]
=
=
exp(C)
+
exp(C)
(
2
,
+
C
,
).
(6.3.15)
Второй член этого выражения имеет вид, который может быть преобразован в полную производную; мы замечаем, что
exp(C)
,
=
exp(C)
,
+
C
,
exp(C)
,
(6.3.16)
что есть такая же величина, как и второй член выражения для (6.3.15) при =1/2. Когда мы интегрируем выражение (6.3.15) по всему пространству, то при =1/2 интеграл от второго члена обращается в нуль, и мы приходим к равенству
d
exp(C'/2)
=
d
exp(C/2)
.
(6.3.17)
Инвариантное решение, выраженное через матрицу g, есть, следовательно,
o
F
=
d
– Det g
.
(6.3.18)
6.4. Лагранжиан теории, справедливой во всех порядках
Инвариант oF, полученный в предыдущем разделе, есть на самом деле решение дифференциального функционального уравнения (6.2.3), но это не есть то решение, которое необходимо для нашей теории, так как это решение не включает в себя производные. В данном разделе мы будем строить решение, необходимое для нашей теории, аналогичным методом. Успех этих манипуляций основан на нахождении точной дивергенции, которая может быть интегрирована по всему пространству.
Исходная точка наших рассуждений есть вновь уравнение (6.3.5), в которое включены вектор и его первые производные. Используемое нами правило есть следующее: мы надеемся найти комбинации g и их производные, причём эти комбинации не включают в себя (или, по-крайней мере, полный дифференциал от этой величины), когда они преобразуются. Мы имеем в уравнении (6.3.5) первые производные . Если мы вычисляем g',, то появляются вторые производные, такие как , и т.п. Выглядит это так, как будто сложность даже увеличилась. Но если производная самого высокого порядка есть , и этот порядок появляется только в одном отдельном члене, мы можем исключить этот член путём вычитания члена с переставленными индексами. (На самом деле, в нашем случае мы не будем делать этого, выражение для , само по себе автоматически симметрично, но мы делаем аналогичную манипуляцию с более высокими производными.) Тогда сначала образуем выражение g',, которое даёт вторые производные вида ,,
g'
,
=
g
,
+
g
,
,
+
g
,
,
+
g
,
+
+
g
,
+
g
,
+
,
g
,
,
(6.4.1)
но когда все операции сложения и вычитания, жонглирования индексами проведены, выполнена симметризация, мы находим
[,]'
=
[,]
+
[,]
,
+
[,]
,
+
+
[,]
,
+
[,]
,
–
g
,
,
(6.4.2)
где появляется только одна вторая производная ,. Теперь мы должны избавиться от компонент метрического тензора с нижними индексами, умножая на обратную матрицу. Сначала введём новое обозначение, которое упростит преобразования. Мы положим
g
[,]
=
.
(6.4.3)
Если мы умножаем соотношение (6.4.2) на g для того, чтобы отделить оставшуюся вторую производную, то соотношение принимает вид, где используются новые символы (называемые коэффициентами голономной связности или символами Кристоффеля)
'
=
+
,
+
,
–
,
+
+
,
–
,
.
(6.4.4)
Это соотношение автоматически симметрично по . Для того, чтобы продвинуться дальше в наших рассуждениях, продифференцируем ещё раз. Если мы дифференцируем это соотношение по новому индексу и вычитаем соответствующее уравнение, имеющее переставленные индексы и , то только следующие члены остаются не сокращёнными при этом вычитании