Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
Давайте подсчитаем, сколько величин мы можем точно определить при преобразованиях и насколько мы можем упростить g', если мы делаем разложение в ряд функции g' в окрестности некоторой точки x. Пусть любая точка в пространстве есть x тогда имеется следующее разложение в ряд Тейлора функции g' в окрестности точки x
g'
(x)
=
g'
(x)
+
g'
,
(x)
(
x
–
x
0
)+
+
1
2
g'
,
(x)
(
x
–
x
0
)(
x
–
x
0
)+…
.
(7.7.1)
Мы
g'
(x)
=
x
x'
·
x
x'
·
g
x
,
g'
,
(x)
=
x
x'
·
x
x'
·
g
,
x
+
+
2
^2x
x'x'
·
x
x'
·
g
x
,
g'
,
(x)
=
x
x'
·
x
x'
·
g
,
x
+
+
2
^3x
x'x'x'
·
x
x'
·
g
x
+ другие члены.
(7.7.2)
Мы видим, что для упрощения g' мы рассматриваем только разложение до второго порядка малости, мы должны выбрать наши преобразования таким образом, чтобы частные производные, появляющиеся в соотношениях (7.7.2), имели определённые значения. Мы можем точно определить следующие величины в нашем преобразовании
1.
Шестнадцать величин
x
x'
x
.
2.
Сорок величин
^2x
x'x'
x
.
3.
Восемьдесят
^3x
x'x'x'
x
.
(7.7.3)
(Заметим, что порядок производных не имеет значения.) Другая сторона медали состоит в том, что количество величин и производных метрического тензора является следующим:
1.
Имеется 10 компонент
g'
(x).
2.
Имеется сорок первых производных
g'
(x,).
3.
Имеется сто вторых производных
g'
(x,).
(7.7.4)
Сначала мы можем попытаться сделать так, чтобы выполнялось равенство g'(x)=. Это соотношение включает в себя только первые производные [x/x']x. У нас есть 10 условий, которым необходимо удовлетворить с помощью 16 свободных параметров. Мы можем легко удовлетворить этим условиям, и у нас останется ещё свободными 6 степеней свободы. Эти шесть параметров являются параметрами специальной теории относительности, преобразований Лоренца и вращений (вектор скорости, ось вращения и угол), которые могут определять преобразования, оставляющие неизменным. Далее мы можем сделать так, чтобы все 40 производных g',(x) в точности обращались в нуль, используя сорок величин
^2x
x'x'
x
.
Производная g появляется в уравнении движения для минимального действия ds. То, что эти производные могут в некоторой точке обращаться в нуль, означает, что все гравитационные силы могут быть устранены в любой выделенной точке пространства и в некоторый момент времени выбором подходящих ускорений.
Получившийся в конце концов результат состоит в том, что остаются двадцать линейных комбинаций вторых производных типа g',, которые не могут быть устранены таким преобразованием. Это те величины, которые должны описывать детальное поведение приливных сил. В следующей лекции мы приступим к построению этих двадцати величин через компоненты тензора g, заданные в какой бы то ни было системе координат, которую мы выбрали для исходного анализа.
Лекция 8
8.1. Преобразования компонент тензора в неортогональных координатах
В большей части предыдущих рассуждений можно было использовать упрощённое обозначение для суммирования тензорных компонент, поскольку мы всегда имели дело с координатными системами, которые были ортогональны. В частности, мы всегда использовали правило суммирования по повторяющимся индексам
A
B