Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
g
0
,
исходной системы координат. Эта процедура делается с использованием обычных приёмов; вычитаем уравнение, полученное перестановкой (,), затем собираем подобные члены и т.д., и получаем следующее соотношение:
a
=-
1
2
g
0
,
+
g
0
,
–
g
0
,
=-
[,]
.
(8.6.6)
Из соотношения (8.6.4)
g'
0
,
есть (удвоенное) выражение в квадратных скобках в правой части соотношения (8.6.4) с заменой a в соответствии с соотношением (8.6.6). Эти величины
g'
0
,
теперь могут быть заменены на
g
0
,
в соотношении (8.5.9) для того, чтобы найти компоненты кривизны, выписанные через старые координаты (ограниченные только тем, что они должны быть локально ортогональными), следующим образом:
R
=
1
2
(
g
,
–
g
,
–
g
,
+
g
,
)+
+
[,]
[,]
–
[,]
[,]
.
(8.6.7)
Осталось только ортогонализировать первоначально произвольные координаты. Это может быть сделано линейным преобразованием:
x
=
L
x'
.
(8.6.8)
Всё, что осталось нам сделать, состоит в том, чтобы выбрать
g'
0
=
,
(8.6.9)
и переписать все соотношения ещё раз. Производные при выбранном преобразовании определяются матрицей L, и мы имеем
g'
=
L
L
g
=
.
(8.6.10)
Среди соотношений, которые могут быть получены, имеется следующее соотношение:
L
L
=
g
.
(8.6.11)
Что же происходит с различными членами? Поскольку
x'
=
x
x
x'
=
L
x
,
(8.6.12)
то,
g'
mn,st
=
L
s
L
t
L
m
L
n
g
,
,
(8.6.13)
a'
rmn
=
L
r
L
m
L
n
a
,
(8.6.14)
rq
a'
rmn
a'
qst
=
rq
L
r
L
q
L
m
L
n
L
s
L
t
a
a
.
(8.6.15)
Когда мы вставляем эти соотношения в выражения для компонент R, мы получаем, что R не является более инвариантом. Окончательное выражение для R (при выводе которого используется соотношение (8.6.11)) имеет следующий вид:
R
=
1
2
(
g
,
–
g
,
–
g
,
+
g
,
)+
+
[,]
g
[,]
–
[,]
g
[,]
,
(8.6.16)
а закон преобразования имеет вид:
R'
mnst
=
L
m
L