Фейнмановские лекции по гравитации

Фейнман Ричард Филлипс

Теперь положение состоит в том, что именно физические координаты должны всегда воспроизводить одни и те же результаты. Может быть удобным для того, чтобы написать теорию в начале, предположить, что измерения делаются в пространстве, которое в принципе галилеево, но после того, как мы получим предсказываемые реальные эффекты, мы видим, что галилеево пространство не имеет смысла.

Это приводит к тому, что для нас не имеет смысла заявлять, что выбор координат, который сделал кто-либо другой, является сумасшедшим и бестолковым просто потому, что этот выбор не выглядит для нас галилеевым. Если он настаивает на трактовке такого выбора как галилеева и приписывает кривизну полям, он также абсолютно оправдывается, и это наше пространство выглядит бестолковым для него. Для любого физического

результата получается один и тот же ответ независимо от того, какое исходное нанесение меток задано для положений объектов. Следовательно, мы видим, что это может быть философское улучшение, если мы могли бы сформулировать нашу теорию от начала таким способом, что нет галилеева пространства, которое входит в точное определение физики; мы всегда имеем дело с физическим пространством действительных измерений.

Мы можем снова порассуждать о человеке, который делает измерения с помощью физической линейки на раскалённой пластине. Линейка очевидно меняет длину при её передвижении от более горячих областей к более холодным. Но всё это имеет смысл только потому, что мы знаем нечто, что может измерять расстояния без такой зависимости от температуры, а именно свет. Если мы с помощью световых измерений можем вписать ”истинно евклидову” координатную систему на пластину, человек на раскалённой пластине мог бы оценить для нас величину температурного поля, т.е. поля, которое могло бы описывать, как линейка меняет свою длину при передвижении её по раскалённой пластине. Если, тем не менее, мы обманываем его и вписываем искажённую систему координат на пластине, но продолжаем говорить ему, что система координат евклидова, он даст описание другого температурного поля. Но нет способа, с помощью которого мы могли бы одурачить его, вписывая произвольные координатные системы на пластине, так что мы будем всегда менять результаты физических измерений, которые он проделывает полностью самостоятельно. Пока он использует только длины линеек в приведённых расстояниях, он будет всегда приходить к одним и тем же ответам независимо от того, к каким бы сумасшедшим температурным полям он мог бы придти, используя координаты, которые мы могли бы ему определить.

Эта ситуация совершенно ясна для случая раскалённой пластины, как для евклидова, так и неевклидова пространства, но только потому, что мы предположили, что тепло не оказывает влияния на световые измерения. Для случая гравитации, однако, мы знаем, что нет масштаба, который бы не искажался, т.е. нет такого ”света”, который бы не искажался гравитацией, и с помощью которого мы могли бы определить галилееву координатную систему. Таким образом, все координатные системы эквивалентны, и они отличаются только тем, что различные величины для полей необходимы для описания скорости хода часов или масштабов длин. Как только мы сконцентрировались на описании физических измерений, координатная система, используемая вначале, исчезает, так как она служит только для удобной расстановки меток, как метки в книгохранилище.

Есть один случай, в котором имеет смысл галилеева или евклидова координатная система, это предельный случай нулевой гравитации или предельный случай однородной температуры на раскалённой пластине. В этом случае физические и евклидовы расстояния описываются одной и той же геометрией. Если мы первоначально исходили из искривлённого нанесения меток положений, то мы могли бы обнаружить, что некоторое координатное преобразование не позволяет нам описать измерения без использования поля. Это существенное упрощение, но вновь это упрощение не обусловлено внутренней справедливостью евклидова описания геометрии, но тем фактом, что она соответствует определённой физической ситуации, которая обладает определённой физической простотой.

Если силы равны нулю всюду, то и символы должны быть равны нулю всюду. Если эти силы не всюду равны нулю, то нет возможности определения ”наилучшей” системы координат. Однако возможно сделать их локально равными нулю (согласно принципу эквивалентности!).

8.4. О соотношениях между различными подходами к теории гравитации

Одна из своеобразных особенностей теории гравитации состоит в том,

она имеет и полевую интерпретацию, и геометрическую интерпретацию. Так как эти интерпретации на самом деле являются двумя аспектами одной и той же теории, мы могли бы предположить, что венерианские учёные, после развития их полной полевой теории гравитации, могли бы в конце концов придти к геометрической точке зрения. Мы не можем быть абсолютно уверены в этом, так как никто никогда ещё не смог объяснить индуктивное рассуждение, никто не смог объяснить как продолжить анализ, когда мы знаем очень мало, для того, чтобы знать существенно больше.

В любом случае истина состоит в том, что поле спина 2 имеет геометрическую интерпретацию; это не является чем-то легко объяснимым, это удивительный факт. Геометрическая интерпретация не является действительно необходимой или существенной для физики. Возможно, что такое полное совпадение может быть понято как представление некоторого рода калибровочной инвариантности.

Возможно, что отношения между этими двумя точками зрения на гравитацию могли бы стать ясными после того, как мы обсудим третью точку зрения, исходя из которой, мы должны исследовать общие свойства полевых теорий при преобразованиях. Такая точка зрения будет рассматриваться нами много позже, мы обсуждаем этот вопрос здесь для того, чтобы получить ощущения тех возможных направлений, которые должны быть учтены при попытках понять, как гравитация может быть и геометрией, и полем.

Давайте сейчас и рассмотрим, что такое калибровочная инвариантность. Как обычно утверждается в электродинамике, это означает, что если мы заменяем векторный потенциал A на

A'

=

A

+

X

,

(8.4.1)

уравнения поля и физические эффекты остаются неизменными, выраженными через новый векторный потенциал A'. Этот факт может быть связан со свойством фазовой инвариантности амплитуд. Давайте теперь посмотрим, что происходит с квантово-механическими амплитудами; совершенно ясно, что если мы используем

'

=

exp(ia)

,

при вычислении вероятности, то ничего не меняется в предсказываемой физике. В общем константа a не приводит к появлению различий в предсказаниях. Что же происходит, если вместо константы о мы используем функцию X, которая меняется от точки к точке в пространстве? Уравнения всегда включают в себя градиенты , которые есть

'

=

exp(iX)

(

+

iX

).

(8.4.2)

Однако оператор (-iA') оставляет функцию такой, что она изменилась только по фазе

(-iA')'

=

exp(iX)

(-iA)

.

(8.4.3)

Так что если имеется векторное поле, которое взаимодействует так, как мы предполагали, уравнения являются инвариантными при зависящих от пространства-времени фазовых преобразованиях этих полей.

Теория векторного мезона Янга - Миллса является попыткой распространить идею калибровочного преобразования рассмотрением таким же способом инвариантности ядерного взаимодействия при изменении изотопического спина. Если амплитуда протона представляется величиной , тогда

'

=

exp(ir·a)

,

(8.4.4)

описывает объект, который частично является протоном, частично нейтроном. Если a есть постоянный вектор в изоспиновом пространстве, то инвариантность ядерных сил по отношению к изменениям изотопического спина означает, что новый объект ' действует во всех ядерных реакциях как . Предложение Янга и Миллса состоит в том, что поле должно быть добавлено к лагранжиану таким способом, чтобы пространственно-зависимая фазовая замена (a->X) не приводила к различиям в уравнениях.