Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
+
1
2
(
g
0
,
+
b
+
b
)
x'
x'
.
(8.5.6)
Для вторых производных величин имеем следующие соотношения
g'
0
,
=
g
0
,
+
b
+
b
,
(8.5.7)
где
b
b
.
Теперь,
g'
0
,
–
g'
0
,
–
g
0
,
+
g
0
,
=
b
–
b
.
(8.5.8)
Индексы входят абсолютно симметрично в правую часть этого соотношения, но это утверждение не обязательно для левой части. Следовательно, при антисимметрировании по индексам (-) мы получаем следующее соотношение
R
=
1
2
(
g
0
,
–
g
0
,
–
g
0
,
+
g
0
,
),
(8.5.9)
величину, которая равна самой себе в штрихованной системе координат. Таким образом, имеется двадцать линейных комбинаций, которые мы искали. Эта величина не является тензором; она не является достаточно общей; она определяется только в месте, в котором обращаются в нуль результирующие поля. Эти линейные комбинации являются несократимыми частями гравитационного тензора, теми, которые не могут быть устранены преобразованием системы координат. Они представляют чисто приливные силы. Таким образом, теперь мы имеем определённый рецепт для нахождения кривизны. Сначала найти преобразование (к римановым нормальным координатам), которое связывает величины g с величинами , причём первые производные компонент g равны нулю. Тогда выраженные через преобразованные компоненты g величины, определяющие кривизну, задаются соотношениями (8.5.9). Эти соотношения остаются теми же самыми в любой координатной системе. Оставшаяся задача состоит в том, чтобы выразить R через исходные произвольные координаты и исходные компоненты g.
8.6. Кривизна как величина, относящаяся к произвольным координатам
Вывод выражений для кривизны через общие координаты происходит наиболее гладким образом при использовании способа, состоящего в последовательном восхождении по ступенькам к искомому результату. Далее, мы снимаем ограничение на первые производные (которые теперь могут быть не равными нулю), но оставляем координаты локально ортогональными; тогда выражения g и g' следующие
g
=
+
g
0
,
x
+
1
2
g
0
,
x
x
,
g'
=
+
1
2
g'
0
,
x'
x'
.
(8.6.1)
Величина g'
x
=
x'
+
1
2
a
x'
x'
.
(8.6.2)
Кубические члены не будут влиять на правильность приводимого ниже результата. Выражение для первых производных
x
x'
=
+
x'
(8.6.3)
вставляем в уравнение, выражающее g' через g,
+
1
2
g'
0
,
x'
x'
=
+(
g
0
,
+
a
+
a
)
x'
+
+
x'
x'
a
a
+
a
g
0
,
+
a
g
0
,
+
+
1
2
a
g
0
,
+
1
2
g
,
,
(8.6.4)
где a=a Члены, соответствующие первым производным, будут равными нулю при следующем выборе a:
a
+
a
=-
g
0
,
.
(8.6.5)
Нам необходимо решить это уравнение таким образом, чтобы a было выражено через
<