Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
A
;
A
x
–
A
.
(9.2.7)
Доказательство того, что эта величина есть тензор, достаточно утомительно, но очень просто; всё, что для этого требуется, состоит в том, чтобы преобразовать все координаты к координатам в плоском пространстве, непосредственно вычислить производную и затем проверить полученный закон преобразования. Правило для дифференцирования контравариантного вектора аналогично предыдущему
A
;
A
x
–
A
.
(9.2.8)
Последнее
T
;
T
x
+
T
+
T
–
T
.
(9.2.9)
Другими словами, каждый индекс приводит к тому, что добавляется член, который включает в себя и сам тензор. Вряд ли нужно какое-либо другое мнемоническое правило; ковариантная производная вычисляется одинаково для верхних и нижних индексов, причём вычисление производной для верхних индексов идентифицируется со знаком "+", а для нижних индексов со знаком "-", тем самым только это и надо запомнить.
Наиболее хорошо известный пример таких преобразований - это формула для ротора вектора в сферических координатах; эти формулы всегда включают в себя обычные производные, умноженные на величины компонентов этого вектора.
Полезно ещё одно соотношение для ковариантных производных. Так как ковариантные производные метрического тензора равны нулю, как легко может быть показано,
g
;
=
0,
(9.2.10)
то следующее правило применимо для произведения
(A
B
)
;
=
A
B
;
+
A
;
B
.
(9.2.11)
Для того, чтобы показать, что подобные соотношения действительно связывают тензорные величины, всегда допустимо так выбрать координаты, чтобы сделать доказательство проще; тензоры являются такими математическими величинами, что тензорные соотношения, доказанные в одной координатной системе, остаются справедливыми для всех других координат. Последнее соотношение легко может быть доказано при использовании перехода к плоскому касательному пространству; ковариантная производная равна обычной производной в таком пространстве.
Одно из действий кривизны состоит в том, что вторая ковариантная производная не коммутирует с первой. Мы можем явно вычислить такие величины путём повторяющегося использования соотношения (9.2.9). Сначала
A
;;
=
[A
;
]
;
=
[A;]
x
+
[A
;
]
–
[A
;
]
,
(9.2.12)
и повторное дифференцирование даёт нам
A
;;
=
^2A
xx
+
x
A
+
+
A
x
+
A
–
A
x
+
A
.
(9.2.13)
Некоммутативность порядка операций взятия ковариантных производных видна, когда мы вычисляем их разность
A
;
–
A
;
=
,
–
,
+
–
A
.
(9.2.14)
Множитель, на который умножается вектор A, должен быть тензором, поскольку величина в левой части последнего соотношения является разностью тензоров. Этот множитель в точности является тензором кривизны, так что
A
;
–
A
;
=
R
A
.
(9.2.15)
9.3. Параллельный перенос вектора
Тот факт, что тензор кривизны появляется в связи с вычислением второй ковариантной производной, служит нам той путеводной нитью, которая позволяет нам дать другую полезную геометрическую интерпретацию кривизны. Свойство некоммутативности вторых производных представляет собой предел разности векторов в том случае, если мы вначале перемещаем его вдоль оси , затем вдоль оси или сначала вдоль оси , затем вдоль оси . Если координаты плоские, то для постоянного вектора нет отличий. Если мы имеем искривлённое пространство и если мы делаем такие перемещения в различном порядке, то мы находим некоторый результирующий вектор. Значимость подобных рассмотрений для получения физических утверждений становится очевидной, когда мы осознаем, что мы не имеем физического способа определения ”подлинно постоянного” векторного поля, за исключением того, чтобы сказать, что это такое векторное поле, чьи компоненты имеют нулевые производные в касательном пространстве.