Фейнмановские лекции по гравитации
Шрифт:
Теперь, когда мы определили такое понятие, как перенос вектора параллельно самому себе, мы можем получить важную формулу для тензора кривизны при движении по траектории ABCD на рис. 9.2. Разности в векторах при каждом инфинитезимальном перемещении задаются символами Кристоффеля . Но так как эти разности не являются в точности теми же самыми вдоль (AB) и (CD), и даже, если бы эти перемещения были бы противоположны одно другому, вектор не вернулся бы к своей исходной величине. Мы можем понять, каким образом символы Кристоффеля оказываются вовлечены в доказательство этого факта. Выполняя алгебраические преобразования, приходим к соотношению (9.2.14).
Можно показать, что тензор кривизны удовлетворяет тождеству Бианки
R
;
+
R
;
+
R
;
=
0.
(9.3.7)
Сейчас
F
=
A
x
–
A
x
,
(9.3.8)
другими словами F– ротор некоторого вектора. Но свойства содержащиеся в утверждении, что F есть ротор, эквивалентным образом также хорошо описываются тождеством
F
,
+
F
,
+
F
,
=
0.
(9.3.9)
которое имеет вид, похожий на тождество Бианки. Свойства ротора могут быть связаны с криволинейным интегралом, если мы используем теорему Стокса1
G
·
dr
=
(rot G)
·
dS
,
(9.3.10)
где интеграл в правой части соотношения представляет собой поверхностный интеграл по любой поверхности, ограниченной замкнутой кривой .
1 Мы используем более распространённое обозначение в отечественной литературе для ротора (”rot”), а не ”curl”, как в лекциях Фейнмана (Прим. перев.)
Для случая гравитации аналогия может быть следующая: криволинейный интеграл представляет изменение вектора, когда мы перемещаем его, оставляя параллельным самому себе, вдоль замкнутой кривой . Такое общее изменение возможно связывается с интегралом по любой двумерной гиперповерхности, ограниченной кривой . Доказательство такого утверждения может быть получено по аналогии с доказательством теоремы Стокса, в котором рассматривается разделение конечной поверхности инфинитезимальной сеткой, например, как показано на рис. 9.4; показывается, что сумма вкладов от любой инфинитезимальной сетки равна криволинейному интегралу. Когда рассматривается аналогия для этой ситуации в пространстве более высоких размерностей, то мы можем лучше понять значение тождества Бианки для описания сущности кривизны пространства.
Рис. 9.4.
9.4. Связь между кривизной и материей
Мы видели, как эффекты, связанные с действием гравитационных
R
=
R
.
(9.4.1)
В этом соотношении указан единственный способ, каким можно свернуть один раз тензор кривизны. Следующий намёк приходит из рассмотрения обобщённого закона сохранения энергии и импульса, который гласит, что свёрнутая ковариантная производная или, иначе говоря, ковариантная дивергенция тензора энергии-импульса, должна быть равна нулю.
Мы ищем вид соотношения, включающего в себя тензор Риччи таким образом, что его свёрнутая ковариантная производная является тождественным нулём. Ответ получается из свёртывания дважды тождества Бианки (9.3.7). Свёртывание по индексам приводит к выражению, включающему в себя тензоры Риччи
R
;
–
R
;
+
R
;
=
0.
(9.4.2)
Свёртывая по индексам (,), мы получаем
R
;
–
R
;
–
R
;
=
0.
(9.4.3)
Таким образом, тензорная величина, которая имеет нулевую ковариантную производную, есть
R
–
1
2
g
R
;
=
0.
(9.4.4)
Гипотеза Эйнштейна состояла в том, что эта величина в точности есть тензор энергии-импульса. Для того, чтобы записать это в эйнштейновской форме, мы просто поднимаем один индекс для того, чтобы записать дважды ковариантный тензор
G
=
R
–
1
2
g
R
=
^2
T
,
G
;
=
0.
(9.4.5)
Первое уравнение (9.4.5) определяет полный закон гравитации Эйнштейна; т.е. это отправная точка всей нашей работы. G часто называется тензором Эйнштейна.
После того, как мы установили связь между тензором энергии-импульса и тензором кривизны, возникает интересный вопрос. Наша интуиция могла бы предполагать, что если повсюду в пространстве нет материи и давлений, геометрия должна бы быть плоской, описываемой метрикой Минковского специальной теории относительности. Тем не менее, оказалось возможным получить решения такие, что