Физика в примерах и задачах
Шрифт:
При отклонении маятника вправо резинка растягивается и движение груза происходит по такому же закону, как и движение комбинированного маятника в задаче 1. Единственное отличие состоит в том, что вместо двух пружин теперь имеется только одна. Поэтому при x>0
ma
=-
mgx
l
–
2kx
(x>0)
.
(1)
Вводя для ускорения a обозначение x, перепишем это уравнение в виде
x
+
^2x
=
0
(x>0)
,
(2)
где частота собственных
^2
=
g
l
+
k
m
(3)
Рис. 4.2. При отклонении маятника влево резинка не влияет на его движение
Из уравнения (2) следует, что движение груза происходит по такому же закону, как и при гармоническом колебании с частотой , пока x>0, поскольку сила упругости -kx действует на груз только до тех пор, пока маятник отклонён вправо. Как только маятник пройдёт через положение равновесия и начнёт отклоняться влево, действие резинки прекращается и маятник движется так же, как и при свободном колебании в поле тяжести (рис. 4.2). Дифференциальное уравнение такого движения имеет вид
x
+
^2x
=
0
(x<0),
где
^2
=
g
l
.
(4)
Таким образом, полная картина движения маятника с резинкой не описывается одним дифференциальным уравнением. Каждый раз в момент прохождения маятником положения равновесия для описания последующего движения нужно переходить от одного уравнения к другому - от уравнения (2) к уравнению (4), если груз проходит через положение равновесия справа налево, и от уравнения (4) к уравнению (2) - если слева направо.
Период T, в течение которого осуществляется полный цикл движения рассматриваемого несимметричного маятника, складывается из двух полупериодов, соответствующих гармоническим колебаниям с частотами , и :
T
=
1
+
1
.
(5)
Рис. 4.3. Заштрихованные фигуры, ограниченные графиком зависимости x(t), геометрически подобны
Интересно сравнить между собой максимальные отклонения маятника при его смещениях вправо и влево от положения равновесия. Это можно сделать, например, построив график зависимости смещения груза от времени. Пусть в начальный момент времени t=0 груз смещён вправо от положения равновесия на расстояние A и отпущен без начальной скорости. Пока груз не достигнет положения равновесия, график его движения будет представлять собой часть косинусоиды, соответствующей решению уравнения (2) (рис. 4.3):
x(t)
=
A
cos t
(0<t</2)
.
(6)
После прохождения положения равновесия, т.е. при x<0, график движения будет представлять собой часть другой косинусоиды, соответствующей решению уравнения (4). Эта косинусоида имеет, как мы выяснили, другой период и, разумеется, другую амплитуду A. Однако в точках, где эти косинусоиды сменяют друг друга, они имеют общую касательную (рис. 4.3). В самом деле, наклон касательной на графике зависимости x(t) определяет скорость тела, которая в момент прохождения положения равновесия не меняется. Такие
A
A
=
.
(7)
Отсюда после подстановки значений частот и получаем
A
=
A
1+kl/mg
.
(8)
К соотношению (7) можно прийти и из энергетических соображений. Полная механическая энергия рассматриваемой системы сохраняется, и в точках остановки, где отклонения маятника максимальны, она совпадает с потенциальной. Поэтому значения потенциальной энергии в крайних точках одинаковы. Так как действующая сила пропорциональна смещению, то потенциальная энергия пропорциональна квадрату смещения. Коэффициент пропорциональности определяет квадрат частоты колебаний. Поэтому выражение для потенциальной энергии Kп можно записать в виде
K
п
=
m^2x^2
2
.
Подчеркнём, что данное выражение справедливо как при отклонении груза влево, когда потенциальная энергия - это энергия груза в поле тяжести, так и при отклонении вправо, когда потенциальная энергия системы складывается из энергии груза в поле тяжести и потенциальной энергии растянутой резинки. Разумеется, в формулу (9) в каждом случае следует подставить соответствующее значение частоты или . Если теперь приравнять значения потенциальной энергии в крайних точках слева и справа:
m^2A^2
2
=
m^2A^2
2
,
то немедленно приходим к прежнему соотношению (8).
5. Колебательный контур с источником тока и его механическая аналогия.
Рис. 5.1. Колебательный контур, содержащий источник питания
Источник с ЭДС E и нулевым внутренним сопротивлением соединён последовательно с катушкой индуктивности и конденсатором (рис. 5.1). В начальный момент времени конденсатор не заряжен. Найти зависимость от времени напряжения на конденсаторе после замыкания ключа K. В какой механической системе процесс колебаний будет аналогичен колебаниям в рассматриваемом контуре?
Изучение процессов, происходящих в рассматриваемом контуре, естественно начать с составления уравнения для тока в такой цепи. Все элементы цепи соединены последовательно, поэтому сила тока во всех её участках в данный момент времени одинакова, а сумма напряжений на всех элементах равна ЭДС. Так как по условию внутреннее сопротивление источника тока равно нулю, то
U
L
+
U
C
=
E
,
(1)
где UC– напряжение на конденсаторе, UL– напряжение на катушке индуктивности.
Напряжение на конденсаторе UC связано с зарядом q его верхней пластины и его ёмкостью C соотношением UC=q/C. Напряжение на индуктивности в любой момент времени равно по модулю и противоположно по знаку ЭДС самоиндукции, поэтому UL=L dI/dt. Ток в цепи I, как видно из рис. 5.1, равен скорости изменения заряда верхней пластины конденсатора: I=dq/dt Подставляя ток в выражение для напряжения на катушке и обозначая вторую производную заряда конденсатора q по времени через q, перепишем уравнение (1):