Физика в примерах и задачах
Шрифт:
Рис. 7.1. Часы на длинных шнурах
Подвешенные на шнурах часы, в отличие от часов, закреплённых на стене, получают возможность раскачиваться. Если шнуры параллельны, движение корпуса часов будет при таких раскачиваниях поступательным. Это означает, что все точки корпуса часов, в том числе и центр масс корпуса, и точка подвеса маятника, движутся одинаково.
Предположим, что амплитуда раскачивания часов достаточно мала, так чтобы можно было считать шнуры всё время вертикальными. Тогда, как и в предыдущей задаче, все действующие на рассматриваемую систему - часы с маятником -
Рис. 7.2. Смещение груза маятника и корпуса часов при колебаниях
Теперь ясно, что колебания маятника и корпуса часов будут происходить с одинаковой частотой и в противофазе, так, чтобы центр масс всё время оставался на одной вертикали. При этом смещение s (рис. 7.2) груза маятника и смещение s корпуса часов (в том числе и точки подвеса маятника) будут обратно пропорциональны их массам:
s
s
=
M-m
m
.
(1)
Из формулы (1) видно, что при m< Приведённые рассуждения показывают, что для нахождения периода колебаний рассматриваемой системы можно непосредственно воспользоваться результатом решения задачи 6, заменив там, конечно, массу верхнего груза M на массу корпуса M-m: T = 2 l g[1+m/(M-m)] 1/2 = 2 l g 1 – m M 1/2 . (2) Обозначая через T период колебаний маятника длиной l в неподвижных часах (T=2l/g) и учитывая условие m/M<<1, формуле (2) можно придать вид T = T 1 – m 2M . (3) Подвешенные на шнурах часы будут спешить. Интересно отметить, что относительное изменение периода |T| T = T-T T = m 2M не зависит от длины маятника. Если, например, M=5 кг, m=200 г, то уменьшение периода составляет 2% и за сутки подвешенные на шнурах часы уйдут вперёд почти на полчаса. 8. Собственные колебания двойного маятника. У двойного маятника точка подвеса неподвижна. Маятник выведен из равновесия таким образом, что при его дальнейшем свободном движении каждый из шариков совершает гармоническое колебание. Какова частота таких колебаний и каким образом их можно возбудить? Если двойной маятник вывести из равновесия произвольным образом и предоставить самому себе, то каждый из шариков будет, вообще говоря, совершать довольно сложное движение, в котором трудно уловить какую-либо закономерность. Однако при некоторых начальных условиях движение маятника оказывается очень простым: оба шарика совершают чисто гармоническое колебание с одной и той же частотой, причём амплитуды и фазы этих колебаний находятся во вполне определённом соотношении друг с другом. Такие
Существуют определённые методы нахождения нормальных колебаний. Но во многих случаях их можно просто угадать, основываясь на симметрии рассматриваемой системы. Если считать, что колебания двойного маятника могут происходить не только в плоскости чертежа на рис. 6.1, но и в перпендикулярной плоскости, то можно сразу сообразить, что рассматриваемая система обладает осевой симметрией, причём осью симметрии является вертикаль, проходящая через точку подвеса.
Чтобы понять, как подмеченная осевая симметрия системы может помочь в нахождении нормальных колебаний, обратимся сначала к более простому примеру обыкновенного математического маятника. При малых амплитудах колебания такого маятника являются гармоническими. Хорошо известно, что гармонические колебания маятника в определённой плоскости можно рассматривать как проекцию на эту плоскость такого движения, при котором нить маятника описывает круговой конус (рис. 8.1). Таким образом, гармоническое колебательное движение можно представить как проекцию некоторого кругового движения, поэтому нахождение нормальных колебаний в системе с осевой симметрией можно свести к нахождению возможных круговых движений в этой системе.
Рис. 8.1. Проецируя круговое движение маятника на вертикальную плоскость, получаем гармоническое колебание
Какие же круговые движения возможны у двойного маятника?
Рис. 8.2. Возможное круговое движение двойного маятника
Легко сообразить (или даже «нащупать» экспериментально, играя с таким двойным маятником), что возможное круговое движение выглядит так, как показано на рис. 8.2: шарики движутся равномерно и синхронно по окружностям, лежащим в горизонтальных плоскостях, так что нити, которые в каждый момент находятся в одной вертикальной плоскости, описывают конические поверхности.
Рис. 8.3. Силы, действующие на шарики в двойном маятнике
Теперь нетрудно найти угловую скорость и соотношение между углами и , которые нити образуют с вертикалью. Для этого нужно применить второй закон Ньютона к движению каждого из шариков. Будем для простоты считать, что массы шариков равны, а верхняя и нижняя нити имеют одинаковую длину l. На рис. 8.3 показаны действующие силы. В случае малых углов, который нас только и интересует, сила натяжения нижней нити T практически не отличается от mg, а сила натяжения верхней нити T - от 2mg. Как видно из рис. 8.3, проекция действующей на нижний шарик силы T на горизонтальное направление равна Tsin mg. Аналогично проекция сил натяжения нитей, действующих на верхний шарик, равна Tsin -Tsin mg(2-). Поэтому уравнения второго закона Ньютона для каждого из шариков в проекции на радиальное направление имеют вид
m^2r
=
mg
,
m^2r
=
mg(2-)
.
(1)
С помощью рис. 8.3 радиусы окружностей r и r, по которым движутся шарики, легко связать с углами и :
r
=
l
,
r
=
l(+)
.
(2)
Подставляя r и r в уравнения (1) и вводя обозначение
^2
=
g
l
,
(3)