Физика в примерах и задачах
Шрифт:
Lq
+
q
C
=
E
.
(2)
Вводя обозначение ^2=1/LC, запишем уравнение (2) в виде
q
+
^2q
=
E
L
.
(3)
Это уравнение отличается от дифференциального уравнения свободных гармонических колебаний с частотой только тем, что в его правой части вместо нуля стоит постоянная величина E/L. Его можно привести к уравнению гармонических колебаний, если сделать простую замену
q
=
Q
+
E
L^2
.
(4)
Так
Q
+
^2Q
=
0.
(5)
Видно, что это действительно уравнение свободных гармонических колебаний с частотой , но только теперь величиной, совершающей синусоидальные колебания, является не заряд пластины q, а введённая соотношением (4) величина Q:
Q(t)
=
Q
cos (t+)
.
(6)
Постоянные Q и должны определяться из начальных условий.
Теперь легко написать выражение для интересующей нас величины q(t). Учитывая, что второе слагаемое в правой части соотношения (4) равно CE. для заряда конденсатора q(t) с помощью (6) получаем
q(t)
=
Q
cos (t+)
+
CE
.
(7)
По условию задачи в начальный момент времени t=0 конденсатор не заряжен, а ключ разомкнут, т.е. тока в цепи нет. Поэтому соответствующие рассматриваемой задаче начальные условия имеют вид
q(0)
=
0
,
I(0)
=
0
.
(8)
Чтобы выбрать постоянные Q и , удовлетворяющие начальным условиям (8), нужно сначала найти с помощью (7) выражение для тока в цепи I:
I(t)
=
dq
dt
=-
Q
sin (t+)
.
(9)
Полагая в формулах (9) и (7) t=0 и учитывая начальные условия (8), получаем уравнения для нахождения Q и :
Q
cos
+
CE
=
0
, -
Q
sin
=
0.
(10)
Из первого соотношения (10) видно, что Q/=0. Тогда из второго соотношения следует, что sin =0, т.е. начальную фазу колебаний можно положить равной нулю. Подставляя =0 в первое соотношение (10), находим Q=-CE Итак, удовлетворяющее начальным условиям (8) решение уравнения (3) имеет вид
q(t)
=
CE
(1-cos t)
.
(11)
Очевидно, что такой же вид имеет и зависимость от времени напряжения на конденсаторе U(t)=q/C.
Рис. 5.2. Зависимость заряда конденсатора и тока в цепи от времени
Графики зависимости заряда конденсатора и тока от времени показаны на рис. 5.2. Из этого графика видно, что заряд конденсатора совершает гармоническое колебание около
Может возникнуть вопрос, как это вообще источник с ЭДС E может зарядить конденсатор до напряжения, равного 2E. Это объясняется наличием катушки индуктивности в цепи зарядки: действие ЭДС самоиндукции приводит к тому, что ток в цепи не может обратиться в нуль в тот момент, когда напряжение на конденсаторе достигает значения, равного ЭДС источника, и конденсатор продолжает заряжаться.
Переходя к обсуждению механической системы, аналогичной рассмотренной электрической цепи, напомним, что колебательному контуру, содержащему индуктивность и ёмкость, можно поставить в соответствие пружинный маятник. При этом заряд конденсатора аналогичен смещению груза, а ток в контуре - скорости движения груза. Упругая пружина является аналогом конденсатора, а движущаяся масса - аналогом катушки индуктивности.
Но в рассмотренной цепи кроме конденсатора и катушки индуктивности есть ещё один элемент - источник питания. Благодаря источнику в такой цепи становится возможным возникновение колебаний даже в том случае, когда в начальный момент и заряд конденсатора, и ток в цепи равны нулю.
Поскольку в электрической цепи в начальный момент времени заряд конденсатора и ток равны нулю, то в механическом аналоге этой схемы в начальный момент пружина должна быть недеформирована, а груз должен покоиться. Остаётся только придумать, что может выполнить роль источника тока в механической системе: механический аналог источника должен привести систему в движение без начального толчка и должен продолжать действовать и дальше в процессе колебаний.
Рис. 5.3. В начальный момент пружина не деформирована и груз неподвижен. Затем подставку выдёргивают.
Нетрудно сообразить, что эту роль в механической системе может сыграть поле тяжести, если пружинный маятник расположить вертикально, подпереть груз подставкой так, чтобы пружина была недеформирована (рис. 5.3), а затем резко выдернуть подставку. Составим уравнение движения для такого маятника. Направим ось x вертикально вниз и будем отсчитывать смещение груза x от начального положения, в котором пружина недеформирована. Тогда проекция силы, действующей на груз со стороны пружины, равна -kx. Так как на груз действует ещё и сила тяжести, то уравнение второго закона Ньютона имеет вид
ma
=
mg
–
kx
.
(12)
Обозначая ускорение пружины, т.е. вторую производную смещения по времени, через x и вводя обозначение ^2=k/m перепишем уравнение (12):
x
+
^2x
=
g
.
(13)
Мы видим, что процессы в механической системе и в рассмотренной выше электрической цепи описываются одинаковыми уравнениями (13) и (3). Одинаковыми будут и начальные условия: отсутствию заряда конденсатора и тока в начальный момент времени в электрической цепи (соотношения (8)) соответствуют равные нулю смещение груза и его скорость в момент выдёргивания подставки: