Физика в примерах и задачах
Шрифт:
x(0)
=
0
,
v(0)
=
0
.
(14)
Таким образом, рассматриваемая механическая система действительно представляет собой аналог электрической цепи, и все сопоставляемые в них друг другу величины изменяются со временем по одинаковому закону. Поэтому смещение груза x(t) даётся формулой (11), в которую только вместо величины CE нужно подставить её аналог в механической системе. Из сопоставления уравнений (3) и (13) ясно, что величину E/L следует заменить на g, а величину EC=E/L^2 - на g/^2=mg/k:
x(t)
=
mg
k
(1-cos t)
.
(15)
График
Интересно рассмотреть энергетические превращения, происходящие при колебаниях в данной электрической цепи и в поставленной ей в соответствие механической системе. До замыкания ключа, пока заряд конденсатора и ток в катушке индуктивности равны нулю, электрическое поле в конденсаторе и магнитное поле в катушке отсутствуют, т.е. равны нулю соответствующие им энергии. Точно так же до выдёргивания подставки в механической системе упругая потенциальная энергия пружины и кинетическая энергия груза равны нулю. После выдёргивания подставки груз под действием силы тяжести устремляется вниз, приобретая скорость и кинетическую энергию. Одновременно растёт деформация пружины и связанная с ней упругая потенциальная энергия. После прохождения положения равновесия x=mg/k скорость и кинетическая энергия груза начинают убывать, и в крайней нижней точке x=2mg/k кинетическая энергия обращается в нуль. Упругая потенциальная энергия пружины Eп=kx^2/2 достигает в этот момент наибольшего значения Eп=2m^2g^2/k Весь этот запас упругой энергии пружина приобрела за счёт работы силы тяжести. В самом деле, при опускании груза его потенциальная энергия в поле тяжести уменьшилась как раз на такую же величину mg·2mg/k В течение следующей половины периода происходит обратное превращение потенциальной энергии упругой деформации пружины в потенциальную энергию груза в поле тяжести.
Совершенно аналогичные превращения энергии происходят и в электрической цепи. В течение первой половины периода за счёт работы, совершаемой источником тока, появляется энергия магнитного поля катушки и электрического поля конденсатора, причём к концу этого промежутка времени вся эта энергия оказывается сосредоточенной в конденсаторе. В течение второй половины периода происходят обратные превращения энергии, и вся энергия возвращается в источник тока. Очевидно, что это возможно только потому, что внутреннее сопротивление источника равно нулю. Другими словами, все процессы в источнике обратимы и прохождение заряда через него не связано с выделением тепла.
Рис. 5.4. В цепи с сопротивлением колебания заряда конденсатора затухают
Однако любой реальный источник тока (как, впрочем, и катушка индуктивности с соединительными проводами) обладает сопротивлением. Поэтому при происходящих процессах неизбежно выделяется теплота и энергетические превращения необратимы. Колебания в действительности будут затухающими (рис. 5.4), так что в конце концов напряжение на конденсаторе станет равным ЭДС источника,
В реальной механической системе всегда присутствует трение. Поэтому и здесь неизбежно выделение теплоты, т.е. превращения механической энергии также необратимы. Колебания будут затухающими, и груз в конце концов установится в положении равновесия x=mg/k.
6. Двойной маятник.
Точка подвеса A двойного маятника совершает гармонические колебания с малой амплитудой в горизонтальном направлении (рис. 6.1). Длина нижней
Рис. 6.1. Точка подвеса A совершает гармонические колебания с такой частотой, что верхняя нить всё время остаётся вертикальной
Рассмотрим систему шариков m и M, соединённых нитью длины l. Допустим, мы подобрали такой период колебаний T точки подвеса A, что при колебаниях нашего двойного маятника верхняя нить всё время остаётся вертикальной. Это значит, что все внешние силы, действующие на выделенную систему, а именно силы тяжести и сила натяжения верхней нити, направлены по вертикали. Отсюда следует, что центр масс системы не перемещается в горизонтальном направлении. Другими словами, шары в любой момент времени движутся в противоположных направлениях, а отношение их ускорений обратно пропорционально отношению масс:
a
a
=
M
m
.
(1)
Рис. 6.2. Если верхняя нить при колебаниях остаётся вертикальной, то центр масс шаров B не перемещается по горизонтали
С другой стороны, непосредственно из рис. 6.2 видно, что
a
a
=
s
l-s
(2)
Сравнивая (1) и (2), находим
s
=
l
1+m/M
.
(3)
Попытаемся теперь представить себе, что это за колебания. Ускорения обоим шарам сообщает горизонтальная составляющая силы натяжения нижней нити. Поскольку точка B (центр масс шаров) по горизонтали не перемещается, движение нижнего шара приближённо можно представить себе как свободные колебания математического маятника длиной s. Строго говоря, точка B совершает перемещения по вертикали, однако при небольшой амплитуде колебания маятника эти перемещения столь малы, что не влияют на период колебаний.
Период колебаний математического маятника длиной s равен T=2s/g Подставляя сюда s из формулы (3), получаем
T
=
2
l
g(1+m/M)
1/2
.
Заметим, что точно такие же колебания шаров можно получить, если верхний шар не подвешивать на нити, а насадить на гладкий горизонтальный стержень, по которому он может скользить без трения. Сила реакции такого стержня направлена всё время вертикально вверх и выполняет ту же роль, что и сила натяжения верхней вертикальной нити, - поддерживает верхний шар на одном и том же уровне, не сообщая ему никакого горизонтального ускорения. Отсюда ясно, что ответ не зависит от длины верхней нити.
Интересно отметить, что рассматриваемые нами колебания этой системы шаров не являются вынужденными: при отсутствии трения это есть свободные незатухающие колебания. Силу натяжения верхней нити нельзя рассматривать как «вынуждающую», так как, будучи перпендикулярной перемещению, эта сила работы не совершает, т.е. энергия к системе не подводится.
7. Часы на длинных шнурах.
Часы массой M имеют маятник в виде невесомого стержня длиной l с точечной массой m на конце. Как изменится ход этих часов, если их подвесить на длинных параллельных шнурах (рис. 7.1)?