Физика в примерах и задачах

Кондратьев Александр Сергеевич

^2

=

g

l

+

k

m

.

(5)

Отсюда определяется жёсткость пружины, необходимой для успокоения колебаний подставки с двигателем, якорь которого вращается с круговой частотой :

k

=

m(^2-g/l)

=

m(^2-^2)

.

(6)

Из этой формулы видно, что добиться успокоения колебаний подставки таким способом можно только тогда, когда круговая частота ротора больше частоты свободных колебаний математического маятника длиной l. Для

успокоения низкочастотных колебаний, когда <=, пришлось бы подвешивать груз m на нити большей длины.

Итак, при вращении несбалансированного ротора подставка с двигателем неподвижна, а присоединённый к ней маятник совершает гармонические колебания. Легко найти амплитуду этих колебаний. Как видно из формулы (4), амплитуда колебаний x определяется из условия kx=F. Подставляя сюда F из формулы (1) и k из (6), находим

x

=

r

M

m

1

1-^2/^2

(>)

.

(7)

Амплитуду колебаний груза x всегда можно сделать достаточно малой путём увеличения массы груза m. Однако увеличение массы потребует, как видно из формулы (6), увеличения жёсткости пружины k.

Мы выяснили, что при правильном подборе жёсткости пружины действительно возможно такое движение рассмотренной системы, при котором подставка с двигателем неподвижна. Однако остаётся вопрос о том, будет ли система сама приходить в такое состояние после включения двигателя. Ответ на этот вопрос положительный. Общей чертой вынужденных колебаний, происходящих под действием периодической внешней силы, является то, что спустя некоторое время после начала действия внешней силы система полностью «забывает» своё начальное состояние. В любой реальной системе, где собственные колебания затухают, вынужденные колебания приобретают стационарный характер и не зависят от начальных условий. Начальные условия проявляются только в период установления колебаний, который обычно называют переходным процессом.

Отметим, что при наличии затухания успокоение колебаний подставки с двигателем, строго говоря, не будет абсолютным. Чтобы колебания вспомогательного маятника при наличии в нем трения происходили с неизменной амплитудой, к нему должна подводиться энергия. А это возможно только тогда, когда подставка с двигателем всё-таки совершает колебания с небольшой амплитудой.

Рассмотренный в этой задаче способ успокоения вынужденных колебаний широко применяется в технике и называется динамическим демпфированием.

11. Несинусоидальные колебания.

В плоский конденсатор с размерами обкладок lxl и расстоянием между ними d (l>>d, l>>d) полностью вставлена диэлектрическая пластина массы m с проницаемостью , как раз заполняющая весь объём между обкладками. На конденсаторе поддерживается постоянное напряжение U. Диэлектрическая пластина выдвигается вдоль стороны длиной l на расстояние x и отпускается. Пренебрегая трением, найти зависимость смещения пластины от времени x(t).

Рис. 11.1. К нахождению силы F_эл, втягивающей диэлектрическую пластину при неизменном напряжении U между обкладками конденсатора

Чтобы выяснить, по какому закону будет происходить движение пластины, прежде всего необходимо найти выражение для силы, действующей на неё со стороны электрического поля плоского конденсатора, соединённого с источником постоянного напряжения U Пусть пластина диэлектрика выдвинута на расстояние x за пределы конденсатора (рис. 11.1) и находится в равновесии под действием силы F_эл, действующей со стороны электрического поля, и равной

ей по модулю внешней силы F. Допустим, что диэлектрик вдвинулся в пространство между обкладками на величину x. Из закона сохранения энергии следует, что совершенная при этом источником напряжения работа A_ист равна сумме изменения энергии конденсатора W_к и механической работы, совершенной силой F_эл над внешними телами:

A

_ист

=

W

_к

+

F

_эл

x

.

(1)

Если заряд конденсатора изменился при этом на величину q, то изменение энергии конденсатора

W

_к

=

Uq

2

.

(2)

Источник напряжения при этом совершил работу

A

_ист

=

U

q

.

(3)

Подставляя W_к и A_ист из (2) и (3) в уравнение (1), получаем

F

_эл

x

=

Uq

2

.

(4)

Это соотношение позволяет найти силу F_эл, действующую на диэлектрическую пластину со стороны электрического поля конденсатора. Изменение заряда конденсатора q при вдвигании пластины можно записать в виде q=UC. Изменение ёмкости конденсатора C при вдвигании пластины на x можно найти, если рассматривать конденсатор с частично вдвинутой пластиной как два соединённых параллельно конденсатора, один из которых заполнен диэлектриком, а другой - нет. Тогда простой расчёт приводит к результату

C

=

(-1)lx

d

.

(5)

Подставляя изменение заряда q в уравнение (4), находим, что

F

_эл

=

(-1)l

d

U^2

2

.

(6)

Таким образом, если между обкладками конденсатора поддерживается постоянное напряжение, то действующая на диэлектрик сила не зависит от длины выступающей из конденсатора части. Эта сила втягивает диэлектрик в пространство между обкладками.

Рис. 11.2. Графики смещения и скорости при колебаниях диэлектрической пластины в конденсаторе

Теперь легко сообразить, что выдвинутая пластина будет под действием постоянной силы F_эл двигаться равноускоренно с ускорением a=F_эл/m, пока не достигнет положения равновесия. После того как пластина проскочит по инерции положение равновесия и выдвинется из конденсатора с другой стороны, направление ускорения изменится на противоположное, так как изменится направление втягивающей силы. В результате пластина будет совершать колебания, которые, однако, не будут гармоническими. График смещения в зависимости от времени x(t) состоит из отрезков парабол (рис. 11.2). Так, например, в течение первой четверти периода таких колебаний, т.е. при 0<t<T/4,