Чтение онлайн

на главную - закладки

Жанры

Физика в примерах и задачах
Шрифт:

получим систему уравнений для деления и :

(^2-^2)

+

^2

=

0,

^2

+

(^2-2^2)

=

0,

(4)

Сразу видно, что система уравнений (4) имеет решение =0 и =0, которое соответствует маятнику в положении равновесия. Но эта система имеет и ненулевые решения. Для их нахождения исключим, например, из этих уравнений. Тогда для получим уравнение

[(^2-^2)

(^2-2^2)

^2^2]

=

0.

(5)

Очевидно,

что ненулевое решение /=0 может существовать только тогда, когда равно нулю выражение в квадратных скобках. Приводя в нем подобные члены, запишем это условие в виде

4^2^2

+

=

0.

(6)

Уравнение (6), являющееся условием существования ненулевых решений системы уравнений (4), определяет частоты возможных круговых движении двойного маятника

1,2

^2

=

^2

(2±

2

)

.

(7)

Мы видим, что круговые движения двойного маятника могут происходить с двумя разными частотами. Для того чтобы найти соотношение углов и , соответствующее каждому из этих движений, нужно подставить по очереди найденные значения частот в одно из уравнений (4). Подставим сначала, например, в первое из уравнений (4) корень ^2=^2=^2(2-2). После приведения подобных членов получаем

=

2

(при ^2=^2(2-

2

))

.

(8)

Если бы мы подставили корень ^2 во второе из уравнений (4), то получили бы точно такое же значение отношения /. Таким образом, уравнения (4) дают возможность определить не сами углы и , a только соотношение между ними. Это означает, что круговое движение двойного маятника с данной частотой возможно при разных значениях раствора конуса (но, разумеется, с определённым соотношением /).

Теперь подставим в первое из уравнений (4) другой корень ^2=^2=^2(2+2). Приведя подобные члены, для отношения углов отклонения нитей получим

=-

2

(при ^2=^2(2+

2

))

.

(9)

Знак минус в этом отношении может означать только то, что при круговом движении двойного маятника нити отклонены от вертикали в противоположные стороны. Такое движение показано на рис. 8.4. О том, что оно возможно, тоже можно было догадаться заранее.

Рис. 8.4. Другое возможное движение двойного маятника

Таким образом, двойной маятник может совершать два вида круговых движений: движение с меньшей частотой происходит так, как показано на рис. 8.2, а движение с большей частотой - как показано на рис. 8.4. Каждому движению соответствует определённая конфигурация нитей. Всё это легко наблюдать

на опыте.

Каждому виду круговых движений двойного маятника соответствует своё нормальное колебание. Проецируя круговое движение на вертикальную плоскость, мы получаем картину соответствующего нормального колебания. Легко видеть, что при нормальном колебании двойного маятника с частотой =(2-2) 1/2 =0,77 движение шариков происходит в одинаковой фазе, причём отношение их амплитуд, как следует из формул (2), равно

r

r

=

1

+

=

1

+

2

=

2,41

.

При нормальном колебании с частотой =(2+2) 1/2 =0,77 шарики совершают колебания в противофазе, а отношение их амплитуд равно

|r/r|

=

2

=

0,41

.

У двойного маятника с различными длинами верхней и нижней нитей и различными массами шариков частоты нормальных колебаний и отношения амплитуд колебаний шариков будут иными, но качественно вся картина нормальных колебаний остаётся прежней.

Чтобы возбудить нормальные колебания двойного маятника, можно, например, отклонить нити от вертикали на углы и , удовлетворяющие соотношениям (8) или (9), и отпустить шарики одновременно без начального толчка. Но нормальные колебания на опыте можно возбудить и иначе, используя явление резонанса. Для этого можно, взявшись за нить вблизи точки подвеса, осторожно раскачивать её с частотой, близкой к частоте одного из нормальных колебаний. Амплитуда соответствующего нормального колебания быстро нарастает, если мы попадаем в резонанс.

9. Вынужденные колебания.

Точка подвеса математического маятника длиной l движется под действием внешней силы в горизонтальном направлении по закону x(t)=xsin t. Найти установившиеся вынужденные колебания маятника.

Задача состоит в нахождении установившихся вынужденных колебаний маятника. При нахождении вынужденных колебаний будем пренебрегать трением, однако необходимо отчётливо представлять себе, что установление колебаний принципиально возможно лишь при наличии затухания. С одной стороны, мы собираемся решать задачу без учёта сил трения, а с другой стороны, как только что отмечено, силы трения необходимы.

Будет ли полученное решение иметь смысл? Да, будет, но только оно будет описывать движение маятника с малым затуханием спустя достаточно большой промежуток времени после того, как точка подвеса приведена в движение. Слова «достаточно большой промежуток времени» означают здесь, что, несмотря на малое затухание, переходный процесс уже закончился.

Из условия задачи нам известны амплитуда x и круговая частота колебаний точки подвеса. Очевидно, что вынужденные колебания будут происходить с той же самой частотой , в то время как частота свободных колебаний этого маятника =g/l Основная идея решения заключается в том, чтобы представить вынужденные колебания данного маятника как свободные колебания некоторого другого маятника. Очевидно, что длина этого маятника L должна определяться из условия =g/l. Здесь могут встретиться разные случаи: частота со может быть меньше, больше или равна собственной частоте свободных колебаний данного математического маятника.

Поделиться:
Популярные книги

По осколкам твоего сердца

Джейн Анна
2. Хулиган и новенькая
Любовные романы:
современные любовные романы
5.56
рейтинг книги
По осколкам твоего сердца

Отверженный VI: Эльфийский Петербург

Опсокополос Алексис
6. Отверженный
Фантастика:
городское фэнтези
альтернативная история
аниме
5.00
рейтинг книги
Отверженный VI: Эльфийский Петербург

Отмороженный 11.0

Гарцевич Евгений Александрович
11. Отмороженный
Фантастика:
боевая фантастика
рпг
попаданцы
фантастика: прочее
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Отмороженный 11.0

Князь

Шмаков Алексей Семенович
5. Светлая Тьма
Фантастика:
юмористическое фэнтези
городское фэнтези
аниме
сказочная фантастика
5.00
рейтинг книги
Князь

Совершенный: Призрак

Vector
2. Совершенный
Фантастика:
боевая фантастика
рпг
5.00
рейтинг книги
Совершенный: Призрак

Дурная жена неверного дракона

Ганова Алиса
Любовные романы:
любовно-фантастические романы
5.00
рейтинг книги
Дурная жена неверного дракона

Лучший из худших

Дашко Дмитрий
1. Лучший из худших
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
5.25
рейтинг книги
Лучший из худших

Идеальный мир для Лекаря 4

Сапфир Олег
4. Лекарь
Фантастика:
фэнтези
юмористическая фантастика
аниме
5.00
рейтинг книги
Идеальный мир для Лекаря 4

Бестужев. Служба Государевой Безопасности

Измайлов Сергей
1. Граф Бестужев
Фантастика:
фэнтези
попаданцы
аниме
5.00
рейтинг книги
Бестужев. Служба Государевой Безопасности

Солнечный корт

Сакавич Нора
4. Все ради игры
Фантастика:
зарубежная фантастика
5.00
рейтинг книги
Солнечный корт

Девочка для Генерала. Книга первая

Кистяева Марина
1. Любовь сильных мира сего
Любовные романы:
остросюжетные любовные романы
эро литература
4.67
рейтинг книги
Девочка для Генерала. Книга первая

Император

Рави Ивар
7. Прометей
Фантастика:
фэнтези
7.11
рейтинг книги
Император

Архонт

Прокофьев Роман Юрьевич
5. Стеллар
Фантастика:
боевая фантастика
рпг
7.80
рейтинг книги
Архонт

Эволюционер из трущоб. Том 6

Панарин Антон
6. Эволюционер из трущоб
Фантастика:
попаданцы
аниме
фэнтези
5.00
рейтинг книги
Эволюционер из трущоб. Том 6