Физика в примерах и задачах
Шрифт:
Описанное в условии задачи явление объясняется тем, что свет от Солнца образует на стене изображение отверстия, когда стена находится близко, и даёт изображение источника, когда стена далеко. Рассмотрим подробно оба случая.
Рис. 2.1. Форма солнечного зайчика, когда стена расположена близко от отверстия
1. Стена расположена близко к отверстию (или к зеркалу). В первом приближении Солнце можно считать точечным источником S (рис. 2.1). Тогда освещённое пятно представляет собой центральную проекцию отверстия на плоскость стены. Центр проекции S расположен
Пусть сначала экран с отверстием и стена перпендикулярны направлению лучей (рис. 2.1). Если наклонить нормаль к плоскости экрана с отверстием на угол относительно направления на Солнце, то размер светлого пятна в соответствующем направлении уменьшается:
d
=
d
cos
.
Если же наклонить нормаль к стене на угол , то размер пятна увеличивается:
d
=
d
cos
.
При таких наклонах светлое пятно на стене имеет форму прямоугольника. Если одновременно наклонить экран и стену относительно направления лучей в разных плоскостях, то светлое пятно будет иметь форму параллелограмма.
Рис. 2.2. К определению ширины полутени
В действительности из-за конечности углового диаметра Солнца (0,01) границы тени на стене от краёв отверстия в экране будут размыты. Очевидно, что полученные выше результаты справедливы, когда ширина полутени много меньше размеров светлого пятна (т.е. размеров зеркала). Ширина полутени d'=L где L - расстояние от отверстия до стены (рис. 2.2). Итак, форма солнечного зайчика повторяет форму зеркала при условии L< L<<100 d . При d10 см это даёт L<<10 м. 2. Стена расположена далеко от отверстия (от зеркала). Теперь в первом приближении отверстие в экране можно считать точечным. Его форма не играет роли, и всё определяется конечным угловым размером Солнца. Освещённое пятно на стене - это как бы изображение Солнца в камере-обскуре. Оно представляет собой сечение плоскостью стены кругового конуса солнечных лучей с вершиной в отверстии и углом а при вершине, равным угловому диаметру Солнца (рис. 2.3). Если стена перпендикулярна оси конуса лучей, то светлое пятно представляет собой круг диаметром d=L. При наклоне стены на угол этот круг превращается в эллипс с большой осью d = d cos = L cos .
Рис. 2.3. Форма зайчика, когда стена далеко от отверстия
С увеличением размеров отверстия (т.е. зеркала) освещённость пятна возрастает (зайчик становится ярче), но одновременно его края становятся более размытыми. Очевидно, что это размытие порядка размеров отверстия d. Таким образом, солнечный зайчик имеет эллиптическую (или круглую) форму, если d<
Из приведённого решения ясно, что безразмерным параметром , которым определяется форма солнечного зайчика, является отношение углового диаметра Солнца к угловому размеру зеркала, т.е. к углу , под которым оно видно от стены:
=
=
L
d
.
При <<1
Проведённое рассмотрение целиком основывалось на законе геометрической оптики о прямолинейном распространении света. Исчерпывающее решение должно учитывать дифракционные эффекты, которые проявляются в отклонении от закона прямолинейного распространения света при его прохождении сквозь отверстие в экране. Угол дифракционного отклонения света по порядку величины равен отношению длины световой волны к размеру отверстия d:
=
d
(подробнее об этом см. в задаче «Фокусировка фотоаппарата»), Дифракционные эффекты не влияют на форму солнечного зайчика, если угол мал по сравнению с угловым размером Солнца :
d
<<
.
Считая 5·10– 7 м, 0,01, находим, что дифракционные эффекты не существенны, если размер d зеркала превышает 5·10– 5 м.
3. Преломление света в стеклянном клине.
Рис. 3.1. Преломление лучей в стеклянном клине
Свет падает по нормали на грань стеклянного клина с малым углом при вершине (рис. 3.1). На какой угол повернутся лучи преломлённого клином света при повороте падающих лучей на небольшой угол вокруг ребра клина?
Рис. 3.2. К определению угла поворота луча
Ответ на поставленный вопрос можно получить, последовательно применяя закон преломления света на плоской границе раздела двух сред. Так как по условию все фигурирующие в задаче углы малы, то их синусы в законе преломления можно заменить самими углами, выраженными в радианной мере. Лучи, падающие нормально на переднюю грань клина, испытывают преломление только на задней грани, угол падения на которую равен преломляющему углу клина (рис. 3.2). Если угол поворота этих лучей обозначить через , то
n
sin
=
sin(+)
,
(1)
откуда для малых значений углов и следует
n
+
,
т.е.
(n-1)
.
(2)
Лучи, падающие на переднюю грань наклонно (под углом ), испытывают преломление на обеих гранях клина (рис. 3.2). На передней грани
sin
=
n sin
,
(3)
откуда угол преломления на передней грани /n. На задней грани клина выполняется соотношение
n
sin(+)
=
sin(+)
,
откуда
n
(+)
+
,
(4)
т.е. угол преломления на задней грани n+(n-1). Учитывая, что вследствие (3) n=, имеем
+
(n-1)
.
(5)
Угол поворота преломлённых лучей, как видно из рис. 3.2, равен разности углов и :