Физика в примерах и задачах
Шрифт:
tg
=
A
u
sin
t
–
z
u
z=0
=
A
u
sin t
.
(4)
При распространении волны в струне каждый её элемент перемещается только поперёк равновесного положения струны. Поэтому горизонтальная проекция силы натяжения струны остаётся неизменной и равной по модулю предварительной силе натяжения F в любой момент времени и в любом месте струны, в том числе и на её левом конце. Отсюда следует,
F
x
(t)
=-
F
A
u
sin t
.
(5)
Скорость движения левого конца струны равна производной по времени от смещения x(t) даваемого формулой
v
x
=
x
=-
A
sin t
.
(6)
Мгновенное значение развиваемой двигателем мощности P равно скалярному произведению действующей на левый конец струны силы F на его скорость v:
P
=
F·v
=
F
x
v
x
=
F
A^2
^2
u
sin^2t
.
(7)
Видно, что развиваемая двигателем мощность испытывает колебания от нуля до максимального значения, равного FA^2^2/u. Среднее значение мощности легко найти, если выразить входящий в формулу (7) квадрат синуса через косинус двойного угла:
sin^2t
=
1
2
(1-cos 2t)
.
(8)
При усреднении по времени второе слагаемое в (8) исчезает, и выражение для средней мощности P принимает вид
P
=
1
2
F
A^2
^2
u
.
(9)
Подставляя сюда значение силы натяжения струны F из формулы (2), выражение для P можно записать следующим образом:
P
=
1
2
S^2A^2u
.
(10)
Затраченная на возбуждение колебаний левого конца струны энергия, разумеется, не исчезает бесследно, а переносится волной вдоль струны. Это отчётливо видно из формулы (10), в которой правая часть как раз равна потоку энергии, переносимой волной. В самом деле, если рассмотреть кинетическую и потенциальную энергии некоторого элемента струны длины l при прохождении волны, то можно убедиться, что среднее значение их суммы равно S^2A^2l/2. За единицу времени волна распространяется на расстояние l, численно равное её скорости u. Поэтому правая часть формулы (10) представляет собой энергию, переносимую волной через любое сечение струны за единицу времени.
Если струна простирается направо до бесконечности, то энергия переносится волной только в одном направлении. Если при этом диссипация механической энергии, приводящая к затуханию колебаний, пренебрежимо мала, то средний поток энергии в любом месте одинаков.
В ограниченной струне характер распространения
Но можно на другом конце струны создать и такие условия, что волна не будет отражаться и вся переносимая ею энергия будет передаваться некоторому устройству. Что же должно представлять собой такое устройство? Для того чтобы на правом конце струны длиной l не происходило отражения волны, нужно, чтобы условия в последней точке струны были бы такими же, как и в бесконечной струне. Другими словами, если «убрать» продолжение струны, то смещение и скорость последней точки должны остаться такими же. Для этого сила F, действующая на последнюю точку струны со стороны устройства, должна быть такой же, как и со стороны «отрезанной» части бесконечной струны (рис. 14.3).
Рис. 14.3. Отражения волны на правом конце не произойдёт, если действующая со стороны штока на конец струны сила F будет такой же, как и со стороны отрезанной части струны
При нахождении силы F можно поступать так же, как и при нахождении силы F на левом конце струны. Тангенс угла (рис. 14.3) равен производной dx/dz при z=l:
tg
=
A
u
sin
t
–
z
u
z=l
=
A
u
sin
t
–
l
u
.
(11)
Так как горизонтальная проекция силы F равна предварительной силе натяжения струны F, то вертикальная проекция силы F, равная Ftg , даётся выражением
F
2x
=
F
A
u
sin
t
–
l
u
.
(12)
Легко заметить, что эта сила в каждый момент времени пропорциональна скорости v правого конца струны. Эту скорость можно вычислить с помощью выражения (3), предварительно положив в нем z=l:
v
=
x
(l,t)
=-
A
sin
t
–
l
u
.
(13)
Сравнивая формулы (12) и (13), видим, что сила F, которая действует на правый конец струны со стороны устройства, обеспечивающего поглощение волны, должна быть пропорциональна скорости крайней точки струны v:
F
2x
=
Fv
u
.
(14)