Физика в примерах и задачах
Шрифт:
x(t)
=
x
–
at^2
2
.
(7)
где
a
=
Fэл
m
=
(-1)lU^2
2md
.
(8)
Амплитуда таких колебаний, как видно из рис. 11.2, совпадает с начальным смещением пластины x из положения равновесия. По истечении первой четверти периода колебаний x(t) в левой части соотношения (7) обращается в нуль. Поэтому для полного периода колебаний T получаем
T
=
4
2x/a
.
(9)
Видно,
Если график зависимости смещения пластины конденсатора от времени ещё хоть как-то напоминает косинусоиду, то график скорости уже совершенно не похож на то, что должно быть при гармонических колебаниях. Поскольку ускорение пластины постоянно по модулю и только скачком меняет направление на противоположное в моменты прохождения пластиной положения равновесия, то график скорости v(t) представляет собой «пилу», показанную на рис. 11.2.
12. Колебания обруча.
К невесомому обручу радиусом R, расположенному вертикально, прикреплена материальная точка массы m. Обруч может катиться без проскальзывания по горизонтальной плоскости. Если вывести обруч из положения равновесия так, чтобы диаметр обруча, проходящий через материальную точку, образовал небольшой угол с вертикалью (рис. 12.1), и отпустить без толчка, то возникнут колебания. Каков период этих колебаний?
Рис. 12.1. При отклонении из положения равновесия невесомый обруч с точечной массой m будет совершать колебания
Если обруч находится в положении устойчивого равновесия, то прикреплённая к нему материальная точка занимает самое нижнее положение. Когда обруч катится без проскальзывания, эта точка движется по циклоиде. Получим прежде всего уравнение этой циклоиды.
Рис. 12.2. К выводу уравнения циклоиды. Длина дуги AB равна отрезку OB
Выберем начало координат в положении равновесия материальной точки. «Прокатим» обруч по оси x так, что диаметр, проходящий через точку m, образует с вертикалью угол (рис. 12.2). Выразим координаты x и y интересующей нас точки через угол . При качении без проскальзывания длина дуги AB=R равна длина отрезка OB. Поэтому непосредственно из рис. 12.2 видно, что
x
=
R
(-sin )
,
y
=
R
(1-cos )
.
(1)
При малых колебаниях обруча, когда угол <<1, формулы (1) можно упростить. Для этого заменим sin на , тогда выражение для cos можно записать в виде
cos
=
1-sin^2
1-^2
1-^2/2
.
Теперь уравнения (1) переписываются следующим образом:
x
=
0
,
y
=
R^2
2
.
(2)
Из этих соотношений следует, что при малых колебаниях обруча закреплённая на нем точка движется практически по вертикали.
Найти закон движения материальной точки по известной траектории можно, вообще не рассматривая действующие силы, а используя только закон сохранения энергии. Так как
my^2
2
+
mgy
=
const.
(3)
Продифференцируем это уравнение по времени:
myy
+
mgy
=
0.
(4)
Так как y не равно нулю тождественно, то из этого соотношения после сокращения на my получаем
y
+
g
=
0.
(5)
Это уравнение говорит о том, что ускорение материальной точки всё время направлено вертикально вниз, постоянно по модулю и равно ускорению свободного падения. Значит, при малых колебаниях невесомого обруча прикреплённая к нему материальная точка движется так же, как при свободном падении в поле тяжести. Каждый раз в момент прохождения через положение равновесия направление движения точки изменяется на противоположное, т.е. она ведёт себя так же, как упругий стальной шарик, подскакивающий в поле тяжести над горизонтальной мраморной плитой.
Теперь легко написать уравнения, выражающие зависимость скорости и координаты точки от времени для первой четверти периода колебаний T. Так как согласно (5) y=-g, то
y(t)
=-
gt
,
(0<t<T/4).
y(t)
=
y
–
gt^2
2
,
(6)
Здесь y - высота, на которой находилась масса m в начальный момент, когда обруч был отклонён от положения равновесия на угол и отпущен без толчка.
Рис. 12.3. Графики скорости и вертикального смещения массы m и угла отклонения при малых колебаниях обруча
Графики зависимости скорости и координаты y от времени показаны на рис. 12.3. Могло бы показаться на первый взгляд, что период колебаний вдвое меньше указанного на этих графиках. Период действительно был бы вдвое меньше, если бы речь шла о подскакивающем шарике. Но для обруча это не так, ибо период колебания здесь определяется временем полного цикла изменения угла , который состоит из отклонений обруча как в одну сторону, так и в другую. Это особенно отчётливо видно из графика зависимости угла отклонения от времени, который показан на том же рис. 12.3.
График зависимости (t) состоит из половинок эллипсов, в чем можно убедиться, подставив во вторую из формул (6) координату y, выраженную через угол с помощью соотношения (2):
^2(t)
=
–
gt^2
R
.
(7)
Эту формулу можно переписать в виде
^2
^2
+
t^2
R^2/g
=
1.
(8)
В ней легко узнать уравнение эллипса на плоскости t, . Полуоси этого эллипса равны R/g и . Как видно из графика зависимости (t), полуось R/g равна четверти периода колебаний обруча T/4. Такое же значение для T/4 можно, разумеется, получить и из уравнения (6).