Избранные научные труды

Бор Нильс Хенрик Давид

В этих соотношениях символы E⁽¹⁾_x, E⁽¹⁾_y, E⁽¹⁾_z, H⁽¹⁾_x, H⁽¹⁾_y, H⁽¹⁾_z означают значения компонент электрического и магнитного поля в пространственно-временной точке (x₁, y₁, z₁, t₁); в соотношениях использованы также сокращенные обозначения

A

₍₁₂₎

^xx

=

–

²

x₁x₂

–

1

c²

²

t₁t₂

x

x

1

r

t

₂

– t

₁

–

r

c

,

A

₍₁₂₎

^xy

=

–

²

x₁y₂

1

r

t

₂

– t

₁

–

r

c

,

B

₍₁₂₎

^xy

=

–

1

c

²

t₁z₂

1

r

t

₂

– t

₁

–

r

c

.

(2)

Далее, h

обозначает делённую на 2 постоянную Планка, c — скорость света и r — пространственное расстояние между двумя точками. Наконец, обозначает введённую Дираком несобственную функцию, определяемую, как известно, соотношением

_t''

^t'

(t-t

₀

)

dt

=

1 при t' < t₀ < t'',

0 при t₀ < t' или t₀ > t''.

(3)

Эта функция дифференцируется формально как обычная функция.

Появление в перестановочных соотношениях (1) дельта-функции, определяемой формулой (3), связано с тем уже упоминавшимся выше обстоятельством, что в квантовой теории поля величины поля не могут рассматриваться просто как функции точки; однозначный смысл имеют лишь интегралы от компонент поля, взятые по пространственно-временной области. Имея в виду простейшую возможность проверить математический аппарат, мы ограничимся в дальнейшем рассмотрением средних значений компонент поля, взятых по односвязной пространственно-временной области G, пространственная часть которой остаётся в течение некоторого промежутка времени постоянной. Обозначая через V объём этой пространственной части и через T соответствующий промежуток времени, мы можем дать, например, для среднего по G значения E_x следующее определение:

E

(G)

x

=

1

VR

 

^R

dt

 

^V

E

_x

dv

.

(4)

Для

определяемых таким образом средних значений двух составляющих поля, взятых по двум заданным пространственно-временным областям I и II, имеют место перестановочные соотношения, которые легко получаются из (1) путём интегрирования по обеим областям и деления на произведение четырёхмерных протяженностей этих областей. При этом значения скобок [E^(I)_x, E^(II)_x] и т. д. прямо получаются из формул (1), если в этих формулах заменить величины A⁽¹²⁾, B⁽¹²⁾ их средними значениями по обеим областям, а именно

A

_(I,II)

xx

=

–

1

V_IV_IIT_IT_II

 

^T_I

dt

₁

 

^T_II

dt

₂

 

^V_I

dv

₁

 

^V_II

dv

₂

x

x

²

x₁x₂

–

1

c²

²

t₁t₂

1

r

t

₂

– t

₁

–

r

c

,

A

_(I,II)

xy

=

–

1

V_IV_IIT_IT_II

 

^T_I

dt

₁

 

^T_II

dt

₂

 

^V_I

dv

₁

 

^V_II

dv

₂

x

x

²

x₁y₂

1

r

t

₂

– t

₁

–

r

c

,

B

_(I,II)

xy

=

–

1

V_IV_IIT_IT_II

 

^T_I

dt

₁