Избранные научные труды
Шрифт:
|
t
=
x
(30)
означает, очевидно, допуск в положении тела относительно фиксированной системы отсчёта, что находится в полном соответствии с соотношениями неопределённости (16). Из формулы (30) непосредственно вытекает условие
x
<
c
t
,
(31)
которое вместе с (16) даёт абсолютный нижний предел неточности px при измерении импульса за промежуток времени с верхним пределом t Но ввиду релятивистской инвариантности соотношений (16) и (27), а также (28) это обстоятельство не налагает каких-либо ограничений на формулировку и применимость принципа неопределённости. К тому же в нашей задаче допустимо при рассмотрении механической стороны вопроса пренебрегать всякими поправками на теорию относительности. В самом деле, если пользоваться
Возможность измерить полный импульс протяженного тела в течение наперёд заданного промежутка времени и с требуемой точностью, выражаемой формулами (16), обусловлена именно тем, что служащий для измерения импульса процесс может быть точно прослежен относительно данной пространственно-временной системы отсчёта. Так, полный импульс используемой в качестве пробного тела системы заряженных тел, его составляющей, может быть определён посредством одного-единственного столкновения. Для этого тело, воспринимающее удар, должно иметь особую конструкцию: оно должно приходить в соприкосновение со всеми частями пробного тела и каждой из них сообщать одинаковое ускорение в одно и то же время. Конечно, такое устройство предъявляет конструкции пробных тел и тела, воспринимающего удар, обширные требования, которые, однако, в принципе выполнимы, если только пренебрегать атомной структурой тел.
Рассматриваемое измерение полного импульса пробного тела можно, по-видимому, проще всего осуществить оптическим путём, если использовать эффект Допплера, например, следующим образом. Представим себе, что каждая составная часть пробного тела снабжена маленьким зеркалом, перпендикулярным направлению оси x представим себе также ряд других зеркал, закреплённых так, чтобы длина светового пути от источника излучения до каждой из составных частей пробного тела была одной и той же. С помощью надлежащего приспособления можно запустить пучок света длительности t, содержащий достаточно большое число световых квантов (это число должно быть весьма велико по сравнению с числом составных частей пробного тела). Тогда все эти составные части одновременно получат толчок и испытают ускорение, которое можно с заданной точностью считать одинаковым.
Покажем, что при помощи такого приспособления можно в самом деле определить полный импульс пробного тела с точностью, допускаемой соотношением (16). Для этого необходимо несколько подробнее рассмотреть взаимодействие между системой, составляющей пробное тело, и световым пучком. При упомянутом выше предположении о том, что скорость пробного тела мала по сравнению со скоростью света, мы получим для каждой из его составных частей
m
(
v
''
,x
–
v
'
,x
)=
h
c
n
('+'')
,
1
2
m
(
v
''
,x
–
v
''
,x
)=
h
n
('+'')
.
(32)
Здесь m — масса составной части, v',x и v'',x — её скорости до и после отражения света, а суммирование распространяется на все отражённые от данной составной части световые кванты (числа n) с угловыми частотами ' до и '' после отражения (угловая частота равна 2, делённому на период). Значение до и после столкновения компоненты импульса данной составной части будет согласно (32) равно
p
'
,x
=
m
v
'
,x
=
m
c
('-'') n
('+'') n
–
1
2
h
c
n
('+'')
p
''
,x
=
m
v
'
,x
=
m
c
('-'') n
('+'') n
+
1
2
h
c
n
('+'')
(33)
Предположим
v
''
,x
–
v
'
,x
=
h
mc
n
('+'')
=
2nh0
mc
(34)
и принять их одинаковыми для всех составных частей. Таким образом, в результате соударения все составные части пробного тела получают хотя и недоступные контролю, но почти в точности одинаковые смещения (их можно считать одинаковыми со сколь угодно большой точностью). Порядок величины x этих смещений удовлетворяет соотношению (30), где |v''x — v'x | можно считать равным общему изменению скорости всей системы составных частей пробного тела. Как и раньше, мы будем считать x весьма малым по сравнению с ct На основании (33) и (34) мы получим тогда для произведения x на неопределённость в полном импульсе пробного тела приближённое выражение
p
x
x
~
t·
n
h'
–
n
h''
.
(35)
Стоящие здесь в скобках величины представляют как раз полные энергии обоих световых пучков: пучка, падающего на пробное тело, и пучка, отражённого от него. Энергия последнего может быть измерена с любой точностью, хотя бы путём спектрального анализа отражённого излучения. Для падающего же пучка подобный анализ был бы, очевидно, несовместимым с условиями опыта. Полная энергия этого излучения могла бы быть, однако, измерена с неточностью, связанной с t соотношением дополнительности (27). Для этого было бы достаточным чисто механическое приспособление, при помощи которого рассматриваемый пучок мог бы быть выделен из некоторого общего поля излучения, такого, что его энергия могла бы быть измерена с любой желаемой точностью (например, путём спектрального анализа) до и после выделения пучка. Таким образом, соотношение (35) совпадает с обычным соотношением неопределённости (16). Заметим ещё, что доказательство такого совпадения существенным образом связано с тем, что описанное устройство даёт только полный импульс пробного тела, но не импульсы составляющих его частей.
То обстоятельство, что применяемая при необходимых для нашей цели измерениях импульса система пробных тел испытывает общее смещение, важно не только для вычисления сопровождающего эти измерения поля, порождаемого пробными телами, но ещё и в другом отношении. Оно даёт нам возможность ставить опыт так, чтобы за исключением коротких промежутков времени, потребных для измерения импульса, всё остальное время все используемые для измерения поля пробные тела могли рассматриваться как неподвижные. (Это вносит в вычисления поля большие упрощения.) Чтобы достигнуть этого, мы можем сразу после каждого измерения импульса, т. е. практически ещё в пределах интервала t, сообщить при помощи надлежащего приспособления системе пробных тел второй, противоположный толчок, который уничтожил бы то изменение скорости, какое произошло от первого толчка. Это можно сделать для каждого входящего в систему тела с точностью, обратно пропорциональной его массе (т.е. практически с любой точностью), притом так, что знание полного импульса пробного тела не утрачивается. Однако промежуток времени между двумя толчками не может быть определён с допуском, меньшим, чем t. Поэтому пробное тело не возвращается в результате второго толчка в свое первоначальное положение; как этого требует принцип неопределённости, оно займёт новое, смещенное па величину x положение, где и перейдёт с данной степенью точности в состояние покоя.