Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Индурайн Франсиско Хосе

ⁱ

)(p

²

– m

₂

^j

)((p-k

₂

)

²

– m

₂

^l

)

+

a

^ijl

(33.18а)

a

^ijl

=

2

d

^D

p Tr{(

p

–

k

₂

– m

_l

)

₅

(

p

+

k

– m

_i

)

₅

}

x

1

p

+

k

₁– m_i

1

p

– m_j

1

p

–

k

₂– m_l

·

(33.18б)

Первый

член в (33.18а) соответствует тому, что мы получили бы при непосредственном использовании уравнений движения q_i5q_l = i(m_i+m_l)q_i5q_l ; второй член описывает аномалию. Приняв в пространстве размерности D для -матриц коммутационные соотношения {,₅}=0, второе слагаемое в формуле (33.18а) можно записать в виде

a

^ijl

=

– 2

d

^D

p

Tr

₅

1

p

+

k

₁– m_i

1

p

– m_j

+

Tr

₅

1

p

– m_j

1

p

–

k

– m_l

.

(33.18в)

Отсюда заключаем, что тензор a равен нулю, так как каждый член выражения (33.18в) представляет собой антисимметричный тензор, зависящий от единственного вектора (первый член зависит от вектора k₁ , второй — от вектора k₂), который обращается в нуль. Между прочим, отсюда видно, что тензор a фактически не зависит от масс, так как производная (/m)a сходится, и, таким образом, это доказательство применимо. Следовательно, можно написать a_ijla, где тензор a получается из исходного тензора, если в нем массы всех частиц положить равными нулю. Аналогичные аргументы показывают, что тензор a

должен иметь вид

a

=a

k

₁

k

₂

, a=constant,

(33.19а)

так что величину a можно получить двойным дифференцированием тензора a:

a=

²

k₁k₂

a

_ki=0

.

(33.19б)

Из этих рассуждений и из выражения (33,18в) следует равенство a0, противоречащее теореме Велтмана — Сатерленда.

Оказывается, что вывод о тождественном равенстве нулю величины a фактически является иллюзорным. Если провести замену переменных, например p->p+k₂ , в интеграле (33.18в), то мы получим конечный не равный нулю результат, зависящий от параметра : a=-/(2^2). Отсюда видно, что коммутационные соотношения {,₅}=0⁴⁹⁾ приводят к неопределенному значению аномалии. Однако если начать с формулы (33.186) и не предполагать антикоммутативности матриц и ₅, то получим

⁴⁹⁾ Такие коммутационные соотношения внутренне противоричивы. Например, используя формулы, приведенные в приложении А для пространства размерности D/=4, получим Tr ₅ = (6-D) Tr ₅, в то время как, приложив коммутативность, можем получить выражения Tr ₅ = -Tr ₅ = (D-2) Tr ₅, которые отличаются от предыдущих членами O(4-D). Но эти проблемы возникают только в том случае, если имеется по меньшей мере четыре -матрицы.

a

=-2

d

^D

p

Tr

₅

1

p

1

p

1

p

1

p

–

1

p

1

p

1

p

1

p

.

Выполняя симметричное интегрирование (приложение Б) и пользуясь только правилами вычислений, приведенными в приложении А для пространства размерности D/=4, получим однозначный результат

a

=

8(D-1)(4-D)